6. Операторы для вычисления средних значений импульса из интегралов в пространстве координат.

Было бы очень полезно уметь вычислять средние значения функций импульса непосредственно с помощью не прибегая к разложению волновых функций в ряд Фурье. Чтобы выяснить, как это можно сделать, выразим в уравнении (9.4а) через интеграл Фурье

Мы получаем (учитывая равенство

Произведем замену

Тогда интеграл превращается в

Интегрирование по частям по с учетом того, что дает

С помощью теоремы об обращении интеграла Фурье, получаем

Теперь мы имеем выраженное через Формально результат кажется подобным результату для х, за тем исключением, что число х под интегралом заменено дифференциальным оператором Следовательно, если нужно найти это можно сделать с помощью волновой функции, выраженной как функция координат, причем мы заменяем величину оператором как в уравнении (. Эта замена чисел на операторы — всего лишь формальная операция. Однако она чрезвычайно полезна, так как создает математический аппарат, весьма напоминающий формулы для вычисления средних величин в классической физике, за тем исключением, что операторы заменяют определенные типы чисел. Теперь становится ясным, почему в формуле было поставлено между

С помощью этого математического аппарата можно более детально выяснить, почему представляет собою нечто большее, чем волна вероятности. Не только средняя величина х определяется выражением но и средняя величина равна

Следовательно, характер зависимости амплитуды волны от координаты (т. е. ее производная) тоже имеет физический смысл. Даже когда равно постоянной величине, например если производная никоим образом не равна нулю. Таким образом, мы видим, что волновая функция означает больше чем величину, определяющую только вероятность данной координаты, так как ее производная определяет среднюю величину импульса.