5. Расплывание волновых пакетов.

Мы уже видели, что в общем случае нельзя ожидать, что волновой пакет будет проходить через диэлектрик без изменения формы. Точное решение задачи по определению изменения формы пакета при каком-то конкретном виде зависимости от обычно бывает очень сложным. Однако если функция обладает достаточно узким пиком, то можно получить хорошее приближение, разлагая величину в ряд по степеням разности Это обусловлено тем, что основная часть интеграла получается при интегрировании по узкому интервалу значений порядка ширины максимума функции В результате получаем

Производя замену находим вместо (3.9)

находим вместо

Вводя обозначение преобразуем эту формулу к виду

Если бы то было бы функцией только волн не изменял бы своей формы. Для того чтобы показать, как влияет на волн величина а, рассмотрим опять частный случай, который дается уравнением (3.4)

В этом случае мы получаем

Этот интеграл можно вычислить, дополняя до полного квадрата показатель экспоненты, как это имело место в более простом интеграле в уравнении (3.4)

Интеграл с точностью до экспоненциального множителя равен

Можно преобразовать аргумент экспоненты к более простой форме, умножая числитель и знаменатель на разность В результате получаем

Так как любая величина вида по модулю равна единице и так как интенсивность волны пропорциональна то мы видим,

что интенсивность рассматриваемой выше волны равна

Это есть не что иное, как гауссовское распределение с центром в соответствии с вычислением, проведенным при определении групповой скорости. Средняя ширина распределения между точками, где величина уменьшается в раз по сравнению со своим максимальным значением, равна

Для промежутков времени настолько малых, что имеем где ширина пакета в момент времени Таким образом, на основании формулы (3.15) можно сказать, что пакет начинает заметно расплываться только для времен

Задача 1. Рассмотреть диэлектрик, для которого