16. Обменное вырождение.

Важный источник вырождения возникает, когда в системе находится больше чем одна частица данного типа. Например, в атоме гелия существует два электрона. Если эти два электрона поменяются местами, то мы получим волновую функцию, которая, вообще говоря, отлична от первоначальной. Но так как все электроны эквивалентны, то обмен какой-либо пары из них не может изменить энергии системы. Поэтому обе волновые функции должны соответствовать вырожденным энергетическим уровням.

Гамильтониан электронов в атоме гелия равен

где — соответственно импульс первого электрона и его расстояние от центра ядра; же для второго электрона; расстояние между двумя электронами:

В первом приближении можно пренебречь членом который определяет взаимодействие между электронами. Этот член составляет в среднем около от потенциальной энергии которая учитывается в нулевом приближении. Поэтому он хотя и не особенно мал, но все же достаточно мал, чтобы можно было пользоваться теорией возмущений.

Решение для волнового уравнения нулевого порядка дается выражением

где решение уравнения решение соответствующего уравнения для второй частицы.

Если принять во внимание член то уже не будет больше решением уравнения Шредингера. Однако мы можем попытаться получить решение при помощи теории возмущений. Для этого надо разложить в ряд по с произвольными коэффициентами

Так как оба электрона тождественны, то мы знаем, что каждой волновой функции соответствует другая функция обладающая такой же невозмущенной энергией, уровень будет вырожденным.

Тогда любая пара функций, принадлежащая двукратно вырожденному уровню, может быть представлена следующим образом:

Ясно, что обе функции отличаются только переменой мест электронов, поэтому такое вырождение называется «обменным вырождением». Очевидно, что оно может осуществляться, только если две частицы тождественны, так как в противном случае энергия, вообще говоря, будет изменяться при обмене частиц.

17. Решение задачи при обменном вырождении.

Необходимо прежде всего снять вырождение, т. е. решить уравнения нулевого порядка теории возмущений вырожденных состояний. В противном случае знаменатель в уравнении (18.117) будет равен нулю и теория возмущений неприменима.

Обозначим через и через . В рассматриваемом случае возмущающий член равен Выпишем значения матричных элементов:

Из соображений симметрии ясно, что Кроме того, можно также доказать, что поскольку

Обмен местами индексов не меняет значения интеграла, поэтому

Так как то, следовательно, т. е. вещественные величины.

Теперь можно приступить к вычислению правильных волновых функций нулевого порядка. Из уравнения (19.5) теперь получаем