5. Волновые пакеты. Решение, зависящее от времени.

Приближенное решение волнового уравнения, зависящее от времени, имеет вид

Запишем Функция , которая является фазой волновой функции, также равна функции, появляющейся в классической механике, а именно функции действия [3]. Для доказательства этого покажем, что 5 удовлетворяет следующим дифференциальным уравнениям:

Это — как раз те уравнения, которые определяют функцию действия. Таким образом, в классическом пределе фаза волновой функции приближается к функции, уже изученной Гамильтоном в XIX веке при попытке получить аналогию между механикой и геометрической оптикой. Действительно, Гамильтон показал совпадение уравнений траекторий частиц в классической механике с уравнениями,

определяющими направление световых лучей в геометрической оптике, при условии, что эти лучи получены из волн при помощи принципа Гюйгенса, в котором за фазу волны, берется функция Не удивительно поэтому, что фаза 5 также появляется как промежуточная функция при выводе связи между волновой теорией квантовой механики и корпускулярной теорией классической механики.

Для более ясного выявления этой связи образуем волновой пакет, интегрируя по малому интервалу энергий:

Центр пакета будет находиться там, где волны с различной энергией стремятся остаться в фазе или где Но

Таким образом, получаем

Центр волнового пакета проходит через точку х в момент времени Но это как раз то время, которое необходимо частице, чтобы пройти расстояние от до х, согласно классической физике Итак, центры волновых пакетов движутся с классической скоростью. Этого и следовало ожидать, поскольку уравнение Шрёдингера выбиралось так, чтобы в классическом пределе оно приводило к ньютоновским законам движения. Однако нужно заметить, что для определения времени прохождения данной точки с точностью до нужно выбрать интервал энергий

Задача 2. Доказать указанное выше утверждение.