15. Значение унитарного преобразования.

Важнейшие свойства унитарного преобразования следующие.

1) Нормировка произвольной волновой функции остается неизменной при унитарном преобразовании. Докажем это для произвольной волновой функции

Интегральная вероятность (которая должна быть равна единице) равна

Применив уравнения (16.35), получим

Используем далее

Поэтому находим

Таким образом, нормировка не меняется. В п. 10 было показано, что соответствует квадрату длины вектора матрицы (столбца), связанного с волновой функцией. Поскольку унитарное преобразование не меняет этой величины, то можно сделать вывод, что это преобразование соответствует обобщению операции поворота в трехмерном пространстве, которая также оставляет неизменной длину всех векторов. Тогда неунитарные преобразования будут соответствовать операции сдвига и растяжения.

2) Унитарное преобразование таким образом преобразует волновые функции, бывшие первоначально ортогональными, что они остаются ортогональными и в новом представлении. В этом отношении оно также напоминает операцию поворота в трехмерном пространстве, которая преобразует два взаимно перпендикулярных вектора в новую систему взаимно перпендикулярных векторов.

Для доказательства этого свойства рассмотрим следующий интеграл, равный нулю для двух ортогональных функций

Если разложить в ряд по функциям то получим

и

При унитарном преобразовании имеем

и

Таким образом, мы приходим к выводу, что разложение интеграла имеет одну и ту же форму во всех представлениях, т. е. если он равен нулю в каком-то одном представлении, он также равен нулю и после того, как над ним произвели унитарное преобразование. Следовательно, свойства ортогональности систем волновых функций остаются неизменными после унитарного преобразования.

3) Связи между преобразованными операторами остаются такими же, как и между непреобразованными операторами.

Рассмотрим для примера матричное представление оператора

Преобразованная матрица примет вид

и поэтому

Аналогичное доказательство можно провести для любой функции операторов, которая выражается в виде рядов произведений. Например, легко показать, что коммутатор двух операторов переходит в коммутатор двух преобразованных операторов, т. е.

4) Собственные значения матриц не изменяются при унитарном преобразовании.

Задача 12. Доказать это свойство.

Мы приходим к выводу, что из данного представления можно посредством унитарного преобразования получить эквивалентное представление всех квантовомеханических соотношений. Переход от одного представления к другому часто удобен, так как обычно оказывается, что каждой задаче соответствует некоторое представление, в котором она выражается проще всего. Например, средний импульс частицы проще всего вычислить в импульсном представлении, в то время как среднюю координату проще всего определить в координатном представлении.

Задача 13. Доказать, что переход от к -представлению является унитарным; определить матрицу преобразования, которая в этом случае непрерывна.

Можно показать, что в классическом пределе унитарное преобразование волновых функций переходит в каноническое преобразование классических переменных Поэтому унитарное преобразование можно рассматривать как обобщение классического понятия канонического преобразования на случай квантовой механики (см. [41, стр. 121—130). Поэтому унитарное преобразование часто называют каноническим преобразованием (или контактным преобразованием).