ГЛАВА 20. ВНЕЗАПНЫЕ И АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

1. Общая форма адиабатического возмущения.

До сих пор мы рассматривали только случай медленно изменяющегося потенциала, когда потенциал настолько мал, что можно пользоваться теорией возмущений (гл. 18, п. 51). Однако можно обобщить это рассмотрение на более общую задачу, в которой потенциал может претерпевать большие изменения, но в течение такого большого промежутка времени, что изменение потенциала за время, равное периоду света, испускаемого при переходе в ближайшее соседнее состояние, мало по сравнению с изменением энергии, происходящим при этом переходе. Точнее, это требование имеет вид

где — начальная энергия, энергия ближайшего соседнего состояния, 1 — рассматриваемый период. Так как период света, испускаемого при переходе, равен то это условие можно переписать так:

Основная идея этого приближения заключается в том, что если достаточно мала, чтобы удовлетворить условию (20.1), то волновая функция в любой момент времени почти равна волновой функции, которая должна была бы получиться, если бы производная была равна нулю, а потенциал V был равен своей мгновенной величине.

Для иллюстрации метода предположим, что оператор Гамильтона выражается так:

Уравнение Шредингера принимает вид

Таким образом, если изменяется достаточно медленно, то можно ожидать, что получится хорошее приближение для решения уравнения Шредингера в каждый момент времени. При этом предполагается, что — постоянная величина, равная своему мгновенному значению значение в момент, для которого требуется вычислить . Волновые функции для стационарного состояния, которые получаются, если положить должны удовлетворять уравнению

Можно предполагать, что если — медленно изменяющаяся функция 0, то хорошим приближенным решением будет

Это просто означает, что пространственное изменение волновой функции для момента времени равно «мгновенной» собственной функции оператора а угловая частота определяется мгновенным значением Физическое значение этого решения будет рассмотрено ниже.

Для доказательства того, что решение (20.4) является хорошим приближением, когда значения малы, заметим, что функции образуют полную нормированную и ортогональную систему. Следовательно, точная волновая функция может быть разложена в ряд по функциям с коэффициентами которые в общем случае являются функциями времени:

Подставляя эту функцию в уравнение Шредингера и используя уравнение (20.3), получаем

После сокращений умножаем это равенство почленно на ите 0 и интегрируем по всему пространству. Пользуясь нормировкой и ортогональностью функций получаем

Упростим теперь несколько эти уравнения, исключив путем преобразования член суммы, для которого Для этого покажем прежде всего, что коэффициент этого члена, а именно является чисто мнимым числом. Чтобы доказать это, воспользуемся условием нормировки Дифференцирование этого уравнения дает

Из этой формулы видно, что вещественная часть равна нулю, т. е. можно написать где — вещественное число. Делаем теперь подстановку:

Эта подстановка приводит к уравнениям

или

где

Заметим, что приведенная выше подстановка приводит к совокупности функций которые также нормированы и ортогональны,

поэтому она эквивалентна лишь тривиальному изменению фазы. Эта подстановка приводит также к изменению энергии, которое мало, если медленно изменяется со временем.

Следующий этап решения заключается в доказательстве того, что если начать с приближенного решения то коэффициенты других состояний будут оставаться малыми для всех моментов времени. Доказательство начнем с уравнения (20.3)

Дифференцируя по получим

Умножая на (когда и интегрируя по всему пространству, получаем

Воспользуемся теперь тем фактом, что оператор эрмитов, поэтому во втором члене слева оператор может действовать на функцию а не на Заметим также, что первый член справа исчезает вследствие ортогональности функции тогда

Используя обозначение (20.8), получаем

Окончательно находим

Теперь можно поступать примерно так же, как и в методе вариации постоянных. Предположим, что вначале система находилась в состоянии с такими значениями постоянных: для

Тогда можно получить решение для при помощи ряда последовательных приближений. Для первого приближения находим

где

Если и медленно изменяющиеся функции 6, то для любого интервала времени интеграл в показателе степени можно приближенно заменить выражением Кроме того, обычно малая величина, поэтому можно заменить соответственно на В результате имеем

Для оценки полученного решения можно пренебречь медленным изменением со временем выражения тогда

Экспоненциальный множитель в уравнении (20.13) самое большее будет порядка единицы. Следовательно, полная вероятность перехода на уровень будет меньше чем

Следовательно, если величина достаточно мала (т. е. удовлетворяется условие (20.1)), то мы сделаем ничтожно малую ошибку, если пренебрежем величинами и скажем, что система остается в состоянии хотя само изменяется со временем. Последнее известно как «адиабатическое приближение». Полученный результат формально весьма похож на тот, который получался в методе вариации постоянных (уравнение (18.146)), за исключением того, что величина здесь заменена на Отношение точно равно периоду света, излучаемого при переходе из состояния Следовательно, выражение

точно равно матричному элементу изменения за время Тогда условие спразедливости адиабатического приближения эквивалентно

требованию, чтобы изменение И за период было мало по сравнению с разностью энергий

Если это условие выполняется, то выражение (20.4) является хорошим приближением для решения уравнения Шредингера.

Приведенный выше критерия можно записать в более удобной форме через угловую частоту Чтобы адиабатическое приближение было справедливо, должно выполняться условие

2. Ичтерпретадия полученных результатов.

Представим себе, что мы медленно изменяем вид потенциальной энергии, которая связывает электрон с ядром. Это можно сделать, например, с помощью сильного внешнего поля или если к рассматриваемому атому медленно приближать другую заряженную частицу. Тогда, как мы видели, волновая функция должна начать медленно искажаться, но квантовое число остается постоянным. Это связано с тем, что для образования нового квантового состояния надо было бы допустить еще одно колебание волновой функции в области с положительной кинетической энергией, а последнее требует большого изменения энергии (см. гл. 11, п. 12). Так как потенциал изменяется со временем очень медленно, то естественно ожидать, что такого большого изменения волновой функции не произойдет, а наоборот, будет происходить постепенное изменение формы волновой функции, поскольку она приспосабливается к изменению потенциала, сохраняя постоянным число узлов. Только если бы потенциал изменялся быстро по сравнению с то осуществлялись бы переходы в другие квантовые состояния, т. е. в состояния с другим числом узлов волновой функции. Тот же результат получился для случая малых, медленно меняющихся возмущений (гл. 18, п. 51), для которых, как мы видели, в каждый момент времени волновая функция равнялась волновой функции стационарного состояния, соответствующей значению гамильтониана в этот момент времени.

При рассмотрении приближения ВКБ (гл. 12, п. 13) мы показали, что в классическом пределе число узлов волновой функции равно где -переменная действия. Отсюда следует, что при адиабатическом изменении гамильтониана действие остается постоянным. Действительно, в классической механике существует хорошо известная теорема, согласно которой в адиабатических процессах действие остается постоянным [2]. Эренфест из адиабатической инвариантности впервые доказал, что действие является единственной классической величиной, которая может быть разумно проквантована. Это объясняется тем, что всегда в любой системе можно

получить произвольно медленное изменение гамильтониана, например, прилагая внешнее поле. Если какая-нибудь величина квантуется, то она может изменяться только на минимальное дискретное значение. С другой стороны, энергия системы, наблюдаемая классическими методами, изменяется непрерывно. Единственным способом правильного перехода от квантовой теории к классическому пределу для такой задачи является квантование величины, которая является классической константой при адиабатических изменениях, и определение связи этой величины с непрерывным изменением энергии.

Примером классического адиабатического изменения является медленное укорочение длины колеблющегося маятника. Для простого гармонического движения (гл. 2, п. 11), где частота. Согласно теореме, что действие У является адиабатическим инвариантом, мы находим, что энергия пропорциональна частоте Если нить подвеса маятника укорачивается, то энергия маятника при этом возрастает. Это возрастание легко определить, вычисляя работу, затрачиваемую при укорочении нити на преодоление эффекта центробежной силы колеблющегося маятника [3].