14. Атом водорода.

Рассмотрим теперь задачу квантования электрона, движущегося в поле, создаваемом точечным зарядом, например ядром атома водорода. Эта задача впервые была решена Нильсом Бором, который получил правило квантования моментов количества движения, пользуясь принципом соответствия. Приведем здесь общий ход рассуждений, при помощи которых это можно сделать непосредственно, без ссылки на квантование действия У. В классической теории энергия в данном случае равна

Для круговой орбиты сила притяжения уравновешивается центробежной силой. Это дает

Производя замену находим

Поэтому энергия имеет вид

Рассмотрим теперь переход с орбиты, для которой на орбиту с Согласно соотношению Эйнштейна мы должны получить

Для высоких квантовых состояний должно иметь место совпадение между частотой, вычисленной квантовомеханически, и классической частотой, которая равна частоте вращения по орбите, т. е. Кроме того, относительное отклонение углового момента будет при

этом настолько мало, что разность в уравнении (2.17) можно заменить дифференциалом. Это дает

где означает изменение Так как то эта формула дает

Из уравнения (2.15) легко получается или

где I — целое число, постоянная величина. Это совпадает с результатом, полученным из условия Бора — Зоммерфельда, которое исторически было выведено позже. Оба результата должны, конечно, совпадать, так как они выведены из принципа соответствия.

Затем Бор интуитивно предположил, что уравнение (2.18) справедливо даже в случае очень малых квантовых чисел. До сих пор определялись только изменения в Поэтому мы писали где К — постоянная. Однако допускаемые значения должны быть те же самые для положительных и отрицательных значений. Это можно видеть из того факта, что в правовинтовой системе координат знак углового момента противоположен знаку углового момента, вычисленного в левовинтовой системе координат. Следовательно, при изменении системы координат с правой на левую меняется знак углового момента. Но конечные результаты теории не должны зависеть от выбора той или иной системы координат. А это означает, что если данное значение углового момента является допустимым, то должно быть допустимым и его отрицательное значение. Если положить то этот критерий будет выполнен, потому что допустимые значения будут При допустимые значения будут или так что наше требование также удовлетворяется. Однако при любом другом значении К этому условию уже нельзя удовлетворить. Например, при получаются следующие допустимые значения: о которые не совпадают при изменении знака углового момента.

Для получения согласия с наблюдаемыми спектрами нужно принять [Квантовое число, равное половине целого числа, появится позже в других задачах в связи с приближением Вентцеля

Крамерса — Бриллюэна и при учете спина электрона Тогда из уравнения (2.16) получаем

где R - постоянная Ридберга. Частота излучения, испускаемого при переходе, равна

Эта формула не только объяснила закономерность известного спектра водорода (и однократно ионизированного гелия), но также предсказала новые серии частот испускаемого излучения, которые в то время не были известны. Таким образом, квантовая теория еще раз сумела дать количественное согласие с широкой областью экспериментальных фактов, к объяснению которых классическая физика не могла даже приступить.

Радиус орбиты электрона равен

Для наинизшей круговой орбиты имеем (Значение приводит в данном случае к абсурду. Однако позже мы убедимся, что первоначальная теория Бора не решала правильно вопрос об определении наинизших квантовых состояний и что возникшие в связи с этим трудности квантовой теории были разрешены с помощью уравнения Шрёдингера.) Радиус этой орбиты, называемый воровским радиусом, обычно обозначают символом см. Поэтому для 1-й орбиты имеем где Таким образом, радиусы последующих орбит возрастают как квадраты квантовых чисел.

Для полного решения задачи атома водорода следует также разобрать и случай эллиптических орбит. На эллиптической орбите радиус периодически колеблется с частотой вращения. Следовательно, можно применить условия Бора — Зоммерфельда для квантования «радиальной переменной действия»

где радиальная составляющая импульса.

Для вычисления воспользуемся следующим соотношением:

Так как сила сферически симметрична, то величина является постоянной движения. Следовательно, величина ведет себя как добавочный отталкивающий член в потенциале, стремящийся удержать частицы подальше от начала координат. Действительно, «центробежная сила» может быть получена дифференцированием этого члена по величине

Здесь компонента скорости в направлении Решая это уравнение относительно получаем

Область интегрирования заключена между минимальным и максимальным значениями радиуса. Так как эти значения осуществляются при то эта область лежит между точками, в которых подынтегральное выражение равно нулю. Интеграл можно вычислить, и результат равен

Задача 7. Вывести полученный результат.

Решая уравнение (2.25) относительно находим

где .

Теперь мы знаем, что и мы должны также иметь где целое число, называемое «радиальным квантовым числом». Полная энергия равна

Обычно вводят главное квантовое число

и тогда полная энергия имеет вид

Мы видим, что разрешенные энергетические уровни оказываются точно такими же, как и для круговых орбит. Энергия зависит явно только от главного квантового числа а не в отдельности от I или Следовательно, для каждого значения можно получить ряд орбит с одинаковой энергией, если пробегает все возможные значения от 1 до в то время как принимает соответствующие значения от до 0.

Рис. 5.

Для выяснения вида этих орбит воспользуемся тем, что энергия электронной орбиты является функцией лишь величины больших полуосей, а не эксцентриситета (см. [13], гл. 5; [71], т. I, гл VIII). Следовательно, все орбиты с одинаковой энергией являются эллипсами с теми же большими полуосями. Мы уже видели, что для получаются круговые орбиты. При получаем эллипсы, которые имеют больший эксцентриситет для меньших значений

Перечислим несколько первых орбит. Для существует только одна возможность это круговая орбита. Однако для возможны значения или

Рис. 6.

Первая орбита круговая, вторая — эллиптическая. Форма орбит для первых двух энергетических уровней показана на рис. 5. Мы видим, что для больших орбиты быстро возрастают и становятся более многочисленными.

Квантовые состояния обычно изображаются на диаграмме энергетических уровней (рис. 6). Величина энергии относительно нуля дается положением линии. Для водорода эти величины показаны сплошными линиями для первых трех значений По мере приближения к значению энергии плотность линий стремится к бесконечности. Для электрон свободен, так что в действительности мы имеем ион и электрон. Энергия, требуемая для освобождения электрона, находящегося первоначально на самом низком энергетическом уровне, называется потенциалом ионизации. Для водорода он равен отрицательному значению энергии, получаемой из уравнения (2.29) при подстановке величине

Единственными типами сил, для которых орбиты с данным главным квантовым числом но с различными азимутальными числами I всегда обладают одинаковой энергией, являются кулоновские силы притяжения и трехмерный простой гармонический осциллятор. В обоих случаях этот результат тесно связан с тем, что частота, с которой радиус возвращается к своему первоначальному значению, совпадает с частотой изменения угла на Чтобы доказать это для кулоновской силы, заметим, что частота радиальных колебаний равна а частота изменения угла на величину равна Из уравнения (2.26) следует, что

так что Тогда для допустимых изменений энергии можно записать

или

Если начать с основного состояния (или s = 0), то мы приходим к тому же значению энергии независимо от того, увеличивается ли на единицу или Точно так же величина следующего интервала энергии не зависит от того, возрастает ли или Таким образом, во всех случаях полное изменение энергии зависит только от главного квантового числа Однако если частота отличается от то получаются разные результаты при изменении на единицу или т. е., в общем случае, энергия зависит отдельно от

При равенстве орбиты оказываются замкнутыми, т. е. и возвращаются к своему начальному значению в то же самое время. Совершенно ясно, что эллиптические орбиты атома водорода обладают этим свойством. Если же радиус не возвращается к начальному значению при изменении угла на то орбиты оказываются незамкнутыми. Если различие в частотах не слишком велико, то результирующее движение может быть описано как прецессия орбиты. Прецессирующая эллиптическая орбита показана на рис. 7.

Рис. 7.

В сложном атоме в результате экранирования обычно наблюдается отклонение от закона Кулона. В этом случае и отличны друг от друга, орбиты прецессируют со скоростью, определяемой величиной разности частот, и уровни с тем же самым и отличными I будут обладать различными энергиями. Эти изменения значений энергии для нескольких уровней показаны пунктирными линиями на диаграмме энергетических уровней (см. рис. 6). Спин электрона и релятивистские поправки также приводят к аналогичной, но, как правило, значительно более слабой зависимости энергии от I даже в случае атома водорода. Это явление называется тонкой структурой (см. [13], стр. 135). Если принять во внимание все эти эффекты, то можно получить хорошее согласие теории с наблюдаемым энергетическим спектром водорода, а также со спектрами щелочных металлов, например натрия.

Задача 8. Предположим, что задан потенциал который является измененным кулоновским потенциалом. Это изменение не позволяет произвести более точный учет эффекта экранирования, но оно является хорошим приближением для учета релятивистских поправок к энергии [13]. Найти энергетические уровни как функцию радиального квантового числа и момента количества движения и показать, что при заданном энергия оказывается независимой от значения

Указание. В уравнении (2.24) следует вычислить интеграл, заменяя в нем на

Первоначальная теория Бора — Зоммерфельда неполна и несколько сомнительна, несмотря на то, что она успешно объяснила энергетические уровни многих различных систем, в том числе вращающиеся и колеблющиеся молекулы, а также применима и к теории атомных спектров. Например, было совершенно неясно, как следует строго сформулировать теорию для сложных атомов для непериодических движений при процессах рассеяния электронов атомами. В некоторых случаях получались неправильные результаты для малых квантовых чисел и делались различные полуэмпирические попытки для того, чтобы добиться согласия с опытом, например, путем введения дробных квантовых чисел. Однако ошибочные выводы теории были, как правило, не слишком грубыми, поэтому было очевидно, что путь был нащупан правильно.

Позже мы увидим, что все эти затруднения ликвидируются в волновой механике, где можно дать, по крайней мере принципиально, полное и количественное объяснение всех явлений, в которых не играют существенной роли релятивистские эффекты. Однако волновая механика не находится в противоречии с общей линией развития

теории Бора — Зоммерфельда; она лишь указывает на ограничения, существующие в этой первоначальной и не совершенной теории, и на способы их преодоления.