13. Собственные функции операторов L2 и Lz.

Можно найти собственные функции методом, подобным тому, который использовался для гармонического осциллятора. Если мы получим одну собственную функцию для этих двух операторов, то все остальные собственные функции, соответствующие тому же значению можно получить повторным применением операторов Однако первую собственную функцию, соответствующую

можно получить из условия (14.32)

Из уравнений (14.15) выражаем через и получаем

Для имеем тогда Уравнение (14.39) принимает вид

Интегрирование дает

Здесь произвольная функция от но ее надо выбрать так, чтобы была собственной функцией оператора с собственным значением Ы. А это значит, что таким образом,

Для получения функций соответствующих меньшим значениям надо подействовать оператором Из уравнения (14.15) получаем

С помощью соотношения получаем

Используя соотношение получим

получим

Найдем функцию при этом заметим, что

Итак, получаем

Повторное применение оператора дает

Результат можно упростить, если использовать подстановки

В результате получаем

Это суть ненормированные собственные функции операторов