10. Одновременное определение собственных функций и собственных значений Lz и L2.

Теперь надо определить возможные значения и соответствующие им возможные собственные функции когда

Отметим сначала, что если имеет определенное численное значение, то эта величина не меняется, если подействовать на операторами или Для доказательства воспользуемся коммутируемостью любой из компонент Итак, исходим из формулы

Действуя оператором любой компоненты например получаем

или

В результате, если является собственной функцией то также является собственной функцией, принадлежащей тому же самому собственному значению Это справедливо также для и

Предположим теперь, что что — собственная функция одновременно для Умножив вышеприведенное уравнение на оператор получим

Использовав перестановочные соотношения (14.8), придем к следующему соотношению:

Уравнение (14.25) можно также переписать в таком виде:

Отсюда делаем вывод, что если является собственной функцией, для которой то функция является тоже собственной функцией оператора принадлежащей другому собственному значению но тому же самому собственному значению Итак, исходя из заданной собственной функции, всегда можно получить новые собственные функции принадлежащие тому же самому собственному значению

Аналогично можно показать, что

Поэтому оператор уменьшает величину на единицу, но не меняет

Повторное применение оператора позволяет получить собственные функции для фиксированного значения принадлежащие бесконечно большим собственным значениям если только нет некоторого значения величины для которого исчезает. Аналогично повторное применение оператора приводит к бесконечно большим отрицательным значениям если только не исчезает для некоторого значения функции Это положение подобно тому, с которым мы встречаемся в задаче гармонического осциллятора.

Мешает ли что-нибудь бесконечному возрастанию при фиксированной величине На этот вопрос следует ответить положительно, что видно из следующей очевидной формулы:

Теперь легко показать, что средние значения должны быть всегда положительными.

Задача 3. Доказать, что среднее значение всегда положительно.

Указание, Повернуть оси так, чтобы новая ось была параллельна старой оси Тогда

В состоянии, когда имеют определенные значения, должно выполняться следующее неравенство:

Это означает, что не может быть больше, чем Поэтому в состоянии, когда больше, чем это допустимо при заданном должно быть либо

где максимальная положительная величина допустимая при данном максимальная отрицательная величина.

Для того чтобы найти связь между рассмотрим выражение

Так как

то

Подобным путем легко показать, что если то имеет место равенство

Если уравнения (14.33) и (14.34) справедливы одновременно, то должно быть Другими словами, максимальным отрицательным значением является отрицательное значение его максимальной положительной величины.

Обычно обозначают целым числом . В этих обозначениях имеем

Для любого заданного значения I возможные значения являются любым положительным или отрицательным целым числом между включая и нуль.