14. Полиномы Лагерра и присоединенные полиномы Лагерра.
Полиномы, являющиеся решением уравнения (15.18), изучались независимо от задачи об атоме водорода Лагерром задолго до того, как было выведено уравнение Шредингера. Полиномы Лагерра являются частными случаями класса так называемых вырожденных гипергеометрических функций.
Полиномы Лагерра определяются следующим образом (см. [10], стр. 130—132):
Присоединенные функции Лагерра получаются дифференцированием полиномов Лагерра:
Легко доказать прямой подстановкой, что эти функции удовлетворяют уравнению
Если положить 
то из уравнения (15.18) получим
k определяется из уравнения (15.19д) 
. Учтя это соотношение и совершив подстановку 
получим из уравнения (15.26а)
Если выбрать 
то уравнения (15.266) и (15.25) становятся идентичными. Поэтому получаем
Полное решение волнового уравнения имеет вид
Волновую функцию можно нормировать с помощью соотношения ([10], ст. 451)
Вернемся теперь к 
как независимой переменной. Используем подстановки
Введем обозначения 
для радиуса первой боровской орбиты. В итоге получаем
Для частного случая 
вышеприведенную волновую функцию объяснить особенно легко, поскольку этот случай ближе всего соответствует классической круговой орбите. Из уравнения (15.24) ясно, что для получения постоянной полином степени 
надо дифференцировать 
раз. Конечным результатом является
График функции 
схематически показан на рис. 74 (сравнить с рис. 72). Максимум соответствует значению
Но это как раз совпадает с радиусом 
боровской орбиты ранней квантовой теории. Таким образом, мы видим, как волновая функция приводит к старым боровским орбитам. Когда 
то волновая функция представляется полиномом, умноженным на 
Поэтому она будет иметь несколько колебаний, т. е. обладать именно теми свойствами, которые были уже без доказательства упомянуты при качественном обсуждении формы волновой функции.
Рис. 74.
Задача 5. Для радиальных волновых функций 
показать их ортогональность в том смысле, что
Могут ли они быть ортогональными для различных величин 17 Ответ объяснить.
Задача 6. Выразить произвольную волновую функцию в виде ряда по собственным функциям атома водорода и показать способ расчета коэффициентов в разложении. Обратить внимание на то, что надо и интегрировать по континууму волновых функций, соответствующих 
и суммировать по дискретным уровням связанных состояний. К вопросу о непрерывных уровнях см. гл. 21, пп. 58 и 59.
