12. Наблюдения кванта света при помощи электронного микроскопа.

Для непосредственной иллюстрации ограничений в локализации кванта света (или фотона, если мы решим так его называть воспользуемся для измерения его положения электронным микроскопом.

Рис. 18.

При этом используем взаимное рассеяние квантов света и электронов. Схема соответствующей экспериментальной установки показана на рис. 18.

Направляем пучок параллельно движущихся электронов нормально электронной линзе таким образом, чтобы он имел фокус в точке Пучок квантов света при этом пересекает электронный пучок под

прямым углом. По временам электроны рассеиваются и попадают в новый фокус Из положения этой точки можно попытаться сделать какой-то вывод о координате х той точки пространства, в которой произошло рассеяние. Следовательно, если представлять себе, что рассеяние обусловлено столкновением электрона с эквивалентным фотоном, то мы тем самым измерим положение этой частицы. (Координаты х отсчитываются в направлении, перпендикулярном электронному пучку и параллельном пучку падающих квантов.)

Заметим прежде всего, что вследствие волновой природы электронов имеется то же общее ограничение точности наблюдений, как и в световом микроскопе. А именно, электронные волны дифрагируют у краев линзы так же, как и световые волны. Основное преимущество электронного микроскопа заключается в гораздо более легкой фокусировке электронов с очень короткой длиной волны по сравнению со светом такой же длины волны. (Вспомним, например, сложную проблему фокусировки, возникающую в рентгеновском микроскопе.) Из сказанного вытекает, что, как и в наблюдениях электрона при помощи фотонов, лучшее, чего можно добиться, это получить соотношение

Однако в случае электронов можно всегда сделать величину сколь угодно малой, используя свет очень короткой длины волны. Здесь мы увидим, что при измерениях света существует ограничение в величине минимального значения которое не зависит от длины электронных волн. Здесь мы ограничимся рассмотрением нерелятивистского случая, учет релятивистских эффектов будет приведен позднее. В нерелятивистском предельном случае можно пренебречь изменением частоты кванта при рассеянии (см. (1.5)). Максимально возможная величина передаваемого импульса от светового кванта к электрону будет при рассеянии кванта на 180°, она равняется где частота кванта. Это означает, что интервал углов рассеяния электрона будет порядка

Из оптики хорошо известно, что разрешающая способность линзы зависит не от угловой апертуры линзы, а точнее от угловой апертуры пучка лучей, собираемых линзой в фокусе. Только, если этот пучок покрывает всю поверхность линзы, разрешающая способность определяется апертурой линзы. В общем случае минимальное разрешаемое расстояние дается или формулой где угловая ширина пучка лучей, попадающих на линзу из какой-то заданной точки, или формулой в зависимости от того, какая из этих величин большая. Следовательно, если меньше, чем апертура линзы 6, то минимальное разрешимое расстояние соответственно

возрастает. Для данного случая получаем

Здесь мы воспользовались выражением, данным выше для и соотношениями де Бройля.

Из полученного результата можно заключить, что если мы видим пятно на экране, то неопределенность в определении точки, процесс рассеяния в которой обусловил появление этого пятна, по порядку величины равна длине волны света до рассеяния. Следовательно, пока неизвестна длина световой волны, нельзя на основании этого опыта делать какие-либо определенные выводы о точке, в которой произошло рассеяние света. Даже если известна эта длина волны то координату кванта света можно определить лишь с точностью до величины С другой стороны, для определения координаты электрона не требовалось никакого предварительного знания его импульса и не было никакого ограничения точности его возможной локализации, если только при его наблюдении использовались кванты с достаточной энергией. Это различие в поведении электрона и светового кванта согласуется с результатами, полученными в гл. 4, п. 7, где теоретически было показано, что понятию положения кванта света нельзя придавать точный смысл, оно может иметь лишь приближенное значение, если не пытаться определить его точнее, чем величина соответствующей длины волны. Приведенное здесь рассмотрение неполно, поскольку ограничено нерелятивистским случаем и предположением, что пучки электронов и фотонов первоначально были взаимно перпендикулярны. Возможно дать и более общую трактовку, однако легко показать, что результаты остаются по существу теми же самыми.

Мы можем прийти к тем же выводам, применив к рассматриваемому случаю непосредственно соотношение неопределенностей. Известно, что максимальная неопределенность величины импульса фотона после того, как он рассеял электрон, равна Если использовать какой-нибудь процесс для очень точных измерений положения, то с ним обязательно связан непредсказываемый и неконтролируемый обмен большим импульсом между измерительным прибором и объектом наблюдения. Так как величина передаваемого импульса при взаимодействии между веществом и светом ограничена выражением

то предел, до которого можно пользоваться таким способом наблюдения для локализации фотона, также ограничен, согласно соотношению неопределенностей, величиной

Только что приведенный метод анализа показывает, что при любых измерениях положения точность всегда ограничена наибольшим возможным значением импульса, которым обмениваются измерительный прибор и объект наблюдения. Следующие задачи помогут проиллюстрировать важность таких ограничений для нескольких частных случаев.

Задача 3. Показать, что если электроны наблюдаются при помощи протонного микроскопа, то наименьший интервал, в пределах которого электрон может быть локализован, будет равен либо либо (в зависимости от того, какой из этих интервалов меньше), где длина волны электрона до наблюдения. (Используйте нерелятивистскую теорию.)

Задача 4. Показать, что если протоны наблюдаются при помощи электронного микроскопа, то единственным ограничением кратчайшего расстояния, которое можно измерить, является длина волны электронов. (Используйте нерелятивистскую теорию.)

Задача 5. Получить соответствующие ограничения при наблюдении электронов с помощью других электронов. (Используйте нерелятивистскую теорию.)

Из указанных задач видно, что гораздо легче произвести точные измерения на тяжелых частицах при помощи легких частиц, чем наоборот. Поэтому максимальные трудности возникают при попытках наблюдения светового кванта, имеющего нулевую массу покоя. Выводы, полученные из этих задач, сформулированных нерелятивистски, нельзя приложить непосредственно к квантам света, движущимся со скоростью света, но было показано, что такого же типа трудности возникают при попытках измерить положение кванта. 1

В последовательной релятивистской теории электрона и других частиц возникают трудности, подобные тем, с которыми мы встретились в случае фотона, но они становятся существенными только, если скорость этих частиц близка к скорости света. Для малых значений отношения релятивистская теория приближается к обычной нерелятивистской трактовке, излагаемой в этой книге.