6. Более сложные представления, включающие понятие непрерывной траектории.

Может возникнуть возражение, что наши простые представления чересчур наивны, чтобы к ним можно было отнестись серьезно. Тогда нас вместо этого может больше удовлетворить описание движения при помощи непрерывной траектории, для которой координата в каждый момент времени может быть определена с любой точностью. Мы не можем непосредственно изобразить процесс движения, это можно было бы сделать, лишь введя понятие производной. Для этого рассмотрим малый интервал времени и определим расстояние проходимое за это время. Тогда средняя скорость в этом интервале будет равна Если стремится к нулю и если функция, описывающая траекторию, достаточно плавная, то будет стремиться к определенному пределу, который

мы определим как скорость в данной точке. Таким образом, хотя мы и не можем представить эту скорость непосредственно при помощи какой-то воображаемой картины, но можем дать ей математическое определение.

Вопрос о том, всегда ли существует этот предел, очень детально изучался математиками. Предел действительно существует для простых функций типа но математики могут легко указать на такие функции, которые повсюду имеют разрывы и потому не имеют производных в каждой точке. Рассмотрим, например, функцию, которая равна нулю всегда, когда независимая переменная представляет собой рациональное число, и равна единице для иррациональных чисел. Эта функция полностью разрывна. Однако в книгах по физике такие функции не рассматриваются, там молчаливо предполагается, что все функции, описывающие движение реальных материальных частиц, непрерывны и дифференцируемы. Это условие принимается, потому что оно кажется наиболее естественным. Но почему непрерывное движение кажется для нас наиболее естественным? Действительно, многие древние греки не были способны понять представление о непрерывном движении; чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить известные парадоксы Зенона. Один из самых знаменитых парадоксов относится к летящей стреле. Так как в каждый момент времени стрела имеет определенное положение, то она не может двигаться в то же самое время. Отсюда Зенон заключил, что движение в некотором смысле иллюзорно. Многие ранние греческие философы не могли доказать, что непрерывное движение — действительно такая уж естественная вещь.

Между античными временами и современностью наши представления о непрерывности движения развивались на примерах орбит планет, траекторий пуль и т. д. и на соответствующих теориях, основанных на дифференциальном исчислении. После изучения всех этих явлений последующие поколения постепенно начали считать само собой разумеющимся представление о непрерывном движении. Но единственным путем для выяснения того, действительно ли движение частиц может быть описано функциями с производными, является экспериментальная проверка. Другими словами, классические представления, что частица имеет траекторию, в каждой точке которой может быть определена производная, основаны только на экспериментальных доказательствах. Со времен Ньютона большой успех классической теории был обеспечен солидным опытным обоснованием, и по природе вещей казалось несомненным, что непрерывная траектория есть единственный возможный путь, по которому могут двигаться реальные материальные тела. Однако если следовать по чисто логическому пути, то нет никаких причин предпочесть понятие о непрерывности траектории представлению о разрывной траектории. Вполне возможно, что приближается к пределу, когда уменьшается, а при

дальнейшем уменьшении перестает стремиться к пределу. Мы можем рассмотреть, например, опыт по измерению для реального тела, пользуясь все меньшими и меньшими интервалами Сначала такая процедура дает сведения со все возрастающей точностью о скорости тела. Но постепенно мы достигнем таких маленьких интервалов времени, для которых станет существенным броуновское движение, и тогда перестанет стремиться к определенному пределу. Можно было бы предположить, что эта трудность обходится рассмотрением движения отдельных молекул. Но опыты, которые привели к квантовой теории, показали, что если сделать слишком малым, то эта попытка тоже окажется безуспешной. Мы приходим к выводу, что при очень точном описании представление о непрерывной траектории неприменимо к движению реальных частиц.