25. Физическое истолкование матричного представления и теории преобразования.

Рассмотрим теперь физическое истолкование матричного представления и теории преобразования. Это истолкование в качественной форме при обсуждении дополнительности уже появлялось в гл. 8, п. 15.

Отметим сначала, что с любой наблюдаемой величиной (оператором) А связана система собственных функций которая принадлежит соответственно собственным значениям, обозначаемым через а. Если — волновая функция, то этот факт истолковывается таким образом, что наблюдаемая величина А имеет определенное значение а. Более того, мы знаем, что в соответствии с постулатом разложения произвольную волновую функцию можно представить в виде разложения в ряд по собственным функциям любой наблюдаемой величины А. Таким образом,

Очевидно, что когда в выражение волновой функции входит несколько функций то величину А уже нельзя рассматривать как точно определенную. В этом случае величины дают вероятность того, что измерение А, произведенное в системе, определяемой волновой функцией даст определенный результат а. Однако до измерения А существует не в качестве определенной величины, а в виде некоторой потенциальной возможности, которая реализуется в более определенной форме в результате взаимодействия с измерительной аппаратурой (гл. 6, пп. 9 и 13; гл. 8, пп. 14 и 15).

Физическое значение величин не исчерпывается приведенным выше определением поскольку, как мы увидим, фазовые соотношения между позволяют определить распределение вероятностей для переменных, которые не коммутируют с А. Чтобы показать это,

рассмотрим такую наблюдаемую величину В, которую в более общем виде можно представить в виде матрицы в -представлении. Обозначим собственные функции В через Тогда в соответствии с п. 14 существует матрица унитарного преобразования т. е. имеем

Это означает, что каждая собственная функция оператора В в общем случае будет линейной комбинацией собственных функций оператора А. Поэтому если В имеет определенное значение, то значения А обязательно будут распределены в некоторой области переменных, определяемой областью, в которой коэффициенты заметно отличаются от нуля Более того, наблюдаемая величина В может иметь определенное значение только тогда, когда функции согласуются и с амплитудами, и с фазами, определяемыми коэффициентами Это означает, что фазовые соотношения, с которыми согласуются функции вообще говоря, имеют физический смысл, так как они будут определять, например, имеет ли величина В определенное значение.

Рассмотрим теперь состояние, когда волновая функция, так что В имеет в этом состоянии определенное значение, а не имеет. Предположим далее, что система взаимодействует с прибором, который может быть использован для измерений величины А. Когда это взаимодействие окончено, то (см. гл. 6, п. 3) каждая функция умножается на неопределенный фазовый множитель так что определяется выражением

Поэтому фазовые соотношения, необходимые для получения собственного значения В, нарушаются в процессе измерения величины А. (В этом и заключается физический смысл некоммутируемости операторов )

Перед взаимодействием с измерительной установкой система об ладала интерференционными свойствами, связанными с тем, что состоянию соответствовало много значений а, и поэтому, говоря буквально, система как бы одновременно обладала всеми этими значениями. После измерения система уже не имеет определенных фазовых соотношений между функциями Последующее поведение системы можно представить так, что она в это время имеет значение А, причем вероятность того, что это значение равно а, определяется величиной (ср. с гл. 6, п. 4 и гл. 22, п. 9). С другой

стороны, теперь волновой функции соответствует некоторая область возможных значений оператора В. Таким образом, при указанном выше процессе измерения система испытывает переход из состояния, в котором наблюдаемая величина В имела определенное значение, а А была не полностью определенной величиной (она лишь потенциально способна принять более определенное значение), в состояние, в котором А имеет определенное значение, а В не полностью определена и имеет лишь возможность получить более определенное значение. Итак, для каждой наблюдаемой величины существует два аспекта: она может существовать или в определенной форме, или же в форме не полностью определенной возможности.

Тот факт, что наблюдаемая величина может частично иметь характер лишь потенциальной возможности, указывает на коренное различие между квантовомеханическим и классическим определениями природы материи. Каждая наблюдаемая величина соответствует некоторому физическому свойству, через которое система может обнаружить себя. По каждой такой наблюдаемой величине можно распределять по категориям (или классифицировать) возможные результаты измерений соответствующего физического свойства, потому что, если измерение данной наблюдаемой величины правильно, то результат измерения должен быть каким-то одним из некоторой совокупности логически возможных различных результатов. Если две наблюдаемые величины не коммутируют, то нельзя применять одновременно оба способа классификации, связанные с соответствующими экспериментами. Таким образом, когда измеряется одна из наблюдаемых величин, полностью аннулируется способ классификации, который связан с другой наблюдаемой величиной, не коммутирующей с измеряемой. Это объясняется, как было показано, тем, что измерение любой одной наблюдаемой величины заставляет систему переходить в состояние, для которого существует некоторая область значений второй наблюдаемой величины, не коммутирующей с первой. Такое поведение системы резко отличается от того, которое предсказывалось классической теорией. С классической точки зрения, каждая частица может обладать физическим состоянием, которое классифицируется значениями ее положения и импульса. Этот способ классификации никогда не меняется, меняются лишь значения величин, связанные с такой классификацией. В квантовой же теории состояния системы могут быть расклассифицированы либо по определенным значениям положения, либо по определенным значениям импульса, но не по обоим вместе. В процессе измерений характер классификации в общем случае совершенно изменяется, и соответствующее математическое преобразование физически отражается

в переходах от поведения системы как частицы (что связано с координатным представлением) к поведению системы как волны (что связано с импульсным представлением). Но в принципе имеется бесконечное количество систем, классификации которых включают и импульс, и положение. Так, можно разложить волновую функцию в ряд по собственным функциям гармонического осциллятора или по собственным функциям атома водорода или другими способами, которые еще встретятся. В этих смешанных способах классификации систем будут соответствовать некоторой области возможных значений и координат, и импульсов.

Наконец, мы видим, что понятие о преобразовании различных представлений дает естественное истолкование выражению наблюдаемой величины через матрицы. Если два оператора не коммутируют, так что представления, связанные с ними, нельзя применять одновременно, то наблюдаемая величина В будет одновременно связана со многими значениями А. Это свойство проявляется в представлении наблюдаемой величины В через матричные элементы симметрично принадлежащие двум значениям а. Только в гаком представлении, в котором оператор В диагонален, наблюдаемую величину можно полностью описать с помощью одних элементов каждый из которых связан только с одним собственным значением

Примечание редактора к гл. 16

В связи с высказываниями автора о специфике квантовой механики следует еще раз подчеркнуть, что квантовая теория значительно шире и глубже классической учитывает единство материального мира. Это особенно ярко проявляется в квантовом подходе к проблеме взаимоотношения объекта измерения и прибора в микроявлениях. Кроме того, квантовая механика по сути дела неявно учитывает неисчерпаемость материальных связей и это в первую очередь и проявляется в том, что ее законы носят не только динамический, но и статистический характер.