45. Граничные условия для парциальных волн в случае свободной частицы.

До сих пор мы изучали по отдельности различные парциальные волны, представляющие возможные волновые функции для свободной частицы. Все эти волны соответствуют тому положению, когда волны должны более или менее приближаться к началу координат, после чего они опять расходятся. Ни одна из них не соответствует обычным граничным условиям на бесконечности

для свободной частицы, а именно существованию падающей плоской волны.

Так как плоская волна является решением уравнения Шредингера для свободной частицы и так как каждая парциальная волна тоже есть решение этого уравнения, то, следовательно, возможно разложение плоской волны в ряд парциальных волн, потому что, согласно теореме разложения, из таких рядов можно получить произвольное решение. Следовательно, мы имеем право написать

Мы можем решить это уравнение относительно коэффициентов разложения умножая (21.75) на функции и интегрируя по всем углам 6. Производя замену и используя нормировку и ортогональность функций получаем

Можно математически показать, что полученное выражение действительно есть правильная функция Бесселя, которая дает нам точное решение для Действительно, получаем [58]

Сравнение с уравнением (21.67) показывает, что это правильная функция и что

Поэтому разложение плоской волны по полиномам Лежандра принимает вид

Это означает, что для описания плоской волны мы должны составить сумму сферических волн. Такая плоская волна содержит все возможные моменты количества движения. Ясно, что эти моменты количества движения необходимы, например, в классическом пределе.

Если пучок частиц направлен на атом, то присутствуют все возможные моменты количества движения, потому что момент количества движения равен где параметр столкновения, который принимает все возможные значения. Однако в квантовой теории возможные моменты количества движения квантуются и каждый связан с волновой функцией с допустимой угловой зависимостью