17. Совместные собственные функции коммутирующих операторов.

Из постулата разложения вытекает, что произвольную волновую функцию можно разложить в ряд по собственным функциям эрмитовского оператора А, т. е. Покажем теперь, что если два оператора коммутируют, то можно разложить произвольную волновую функцию в ряд по общим собственным функциям обоих операторов.

Для этого заметим сначала, что если коммутируют и собственная функция А, принадлежащая собственному значению а, то

Таким образом, также является собственной функцией А, принадлежащей собственному значению а. Это означает, что произведение должно быть линейной комбинацией собственных функций А, принадлежащих собственному значению а. (Если А — невырожденный оператор, то может быть только одна такая функция; в противном случае — больше чем одна.) Чтобы обозначить это, запишем

где представляет собственную функцию А, принадлежащую собственному значению а.

Любое семейство функций типа всегда можно перегруппировать подходящей линейной комбинацией в ортонормированную систему. Предположим, что мы воспользовались этим и совокупность функций фал образует ортонормированную систему. Тогда можно выразить произвольную волновую функцию в виде ряда

Уравнения, определяющие собственные функции и собственные значения оператора В, имеют вид

Умножим это выражение почленно на и проинтегрируем по х. Заметим, что при ортогонально к поскольку это две собственные функции эрмитовского оператора соответствующие различным собственным значениям (см. гл. 10, п. 24). Для они ортогональны по предположению. Итак, мы получаем

Это система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

Условием ее решения является равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при

Наиболее важной характеристикой уравнений (16.38) и (16.39) является то, что они относятся только к данному значению а. Это означает, что собственные функции оператора В, полученные таким

образом, являются одновременно собственными функциями оператора А. Более того, так как коэффициенты допускаются разложением произвольной функции, то этим путем можно получить полную систему собственных функций В. Очевидно, что произвольную функцию можно разложить в ряд по собственным функциям, являющимся одновременно собственными функциями и А, и В. Таким образом,

Если коммутирующих операторов больше чем два, то и в этом случае можно доказать соответствующую теорему. Когда будут исчерпаны все коммутирующие друг с другом операторы, имеющие физический смысл, то мы получим «полную систему коммутирующих наблюдаемых величин». Наиболее полная возможная информация о системе получается при определении всех связанных с ними коэффициентов разложения. Только в том случае, когда мы имеем полную систему коммутирующих операторов, определение волновой функции однозначно.

В некоторых случаях полная система коммутирующих величин состоит только из одного оператора. Это имеет место, например, в одномерном случае для одной частицы без спина, когда либо оператор х, либо оператор составляют по отдельности полную систему, но, конечно, ими нельзя пользоваться одновременно. В трехмерной задаче это будут либо три оператора координаты, либо три оператора импульса. Если потенциал сферически симметричен (см. гл. 14, п. 1), то можно выбрать операторы и в качестве полной коммутирующей системы. Здесь необходимы три переменные, поскольку вырождены, так что определение только одной или двух из этих величин не может полностью определить волновую функцию. В более общем случае потенциала, не обладающего сферической симметрией (см. гл. 14, п. 6), Н больше не коммутирует с Оператор также становится невырожденным, так что волновую функцию можно полностью определить, найдя только энергию. Однако, когда данный оператор, типа является вырожденным, необходимо добавить еще один или несколько операторов для образования полной системы коммутирующих величин, поскольку определение собственного значения уже недостаточно для полного определения волновой функции.