5. Разделение переменных в относительных координатах.

До сих пор мы считали, что потенциал является функцией расстояния от фиксированной точки. Во многих задачах, таких, например, как задача об атоме водорода, потенциал является функцией относительного расстояния между электроном и протоном радиус-вектор электрона и -протона). Тем не менее, как и в классической теории, общее уравнение можно разделить на два, одно из которых будет зависеть только от а другое — только от координат центра масс. Чтобы показать это, запишем гамильтониан для двух частиц следующим образом (см. гл. 10, п. 11):

Произведем теперь подстановку

где — расстояние между двумя частицами, координата их центра масс.

Читателю предлагается в качестве упражнения доказать, что

Задача 2. Доказать вышеприведенное положение.

Волновую функцию будем искатьв виде произведения Позже будет показано, что произвольную волновую функцию действительно можно выбирать в виде суммы таких произведений. Тогда собственные значения оператора определяются уравнением

Деля это уравнение на находим

Уравнение (15.9) можно решить для произвольных только при условии, что части, зависящие от и по отдельности тождественно равны одной и той же постоянной. Таким образом, мы получаем

Уравнение (15.10) точно совпадает с уравнением Шредингера для свободной частицы с массой Поэтому волновая функция для центра масс ведет себя точно так же, как если бы система представляла одну частицу с кинетической энергией и с массой, равной общей массе системы. Это квантовый аналог известного классического результата, согласно которому центр масс системы частиц движется с постоянной скоростью независимо от сил, действующих между частицами. Квантовый результат можно также обобщить на произвольное число частиц. Функция при этом имеет вид

где произвольные постоянные, а

Обозначим разность между полной энергией и энергией связанной с центром масс, через Е (относительная энергия). Тогда уравнение для функции примет вид

где

называется приведенной массой. Ясно, что это уравнение аналогично уравнению для. частицы с энергией и с приведенной массой в поле потенциала с источником в фиксированном центре.

Обычно при решении задач, подобных задаче об атоме водорода, нас интересует не энергия движения атома в целом, а только энергия относительного движения электрона и протона. Эта относительная энергия проявляется, например, в форме излучения, когда электрон переходит из одного данного стационарного состояния в другое, с более низкой энергией. Поэтому практически мы обычно решаем только уравнение для и получаем возможные значения которые ниже обозначаются через Эта процедура уже излагалась при решении задачи об определении уровней энергии дейтрона (гл. 11, п. 14), где две частицы (нейтрон и протон) имеют практически одинаковую массу, так что

Возможность использования функциональных рядов типа для представления произвольной функции от § и и) обусловлена тем, что и являются собственными функциями эрмитовского оператора собственная функция оператора собственная функция оператора, входящего в уравнение Поэтому в соответствии с теоремой разложения произвольную функцию можно разложить в ряд по этим произведениям. Здесь и далее, если нет специальной оговорки, мы ограничимся решением для помня при этом, что полная волновая функция является суммой произведений