13. Вырождение энергетических уровней атома водорода.

Мы видели, что энергетические уровни атома водорода зависят только от главного квантового числа но не от I или Следовательно, чтобы узнать энергию, достаточно знать только значение и, а если определено, то энергия уже не зависит от величины I или Поэтому в общем случае может быть много различных квантовых состояний с одной и той же энергией, т. е. система может быть вырождена (см. гл. 10, п. 14). Наинизшему состоянию соответствует в этом случае радиальная волновая функция имеет только один узел в начале координат. Так как где число узлов радиальной волновой функции, то для этого состояния Следовательно, это состояние невырожденное, так как имеется только одна волновая функция с а именно та, для которой Следующее состояние имеет ему соответствуют четыре возможных состояния. Радиальная функция имеет один узел и в этом случае может принимать значения Может также быть два узла радиальной функции При больших главных квантовых числах степень вырождения возрастает.

Свойством независимости энергии от I обладает только атом водорода и трехмерный изотропный гармонический осциллятор. Например, в атомах, отличных от атома водорода, энергия зависит не только от но и от Это вызвано тем, что потенциальная энергия данного электрона в неводородном атоме равна не а изменена экранирующим действием других электронов. Чем больше отклонение от кулоновского потенциала, тем больше будет различие в энергии между уровнями с одним и тем же но разными Так как наибольшие отклонения характерны для наиболее тяжелых атомов, то в общем случае стремление к возрастанию различий между энергетическими уровнями с одним и тем же и различными I возрастает с ростом номера атома. Даже в атоме водорода вырождение уровней с одним и тем же можно удалить наложением внешнего электрического поля, которое вызывает изменение энергии каждого уровня на величину, зависящую от Это явление называется эффектом Штарка первого порядка; он будет обсуждаться позже в связи с теорией возмущений (см. гл. 19, п. 11). Влияния спина и релятивистских эффектов также вызывают небольшое расщепление этих уровней, называемое тонкой структурой.

Вырождение уровней с одними и теми же но с различными присуще всем центральным полям, т. е. всем потенциалам, зависящим только от радиуса. Это ясно из того, что радиальное уравнение (15.26), определяющее возможные энергии, не содержит

а содержит только полный момент количества движения, определяемый квантовым числом Однако это вырождение исчезает, когда поле не является центральным. Такое нецентральное поле можно создать, например, внешним магнитным полем, которое приводит к тому, что энергетические уровни с различными приобретают различную энергию. Это расщепление энергетических уровней во внешнем магнитном поле называется эффектом Зеемана, который будет исследован в п. 27.

Рис. 73.

На рис. 73 представлена схематическая диаграмма, указывающая вырождение различных энергетических уровней атома водорода и способы снятия этого вырождения.

Надо отметить, что и знаки, и величины различных смещений энергетических уровней могут меняться в зависимости от типа взаимодействия, вызывающего расщепление уровней.