17. Испускание излучения.

Прежде чем вычислить вероятность испускания кванта, изучим сначала классическую теорию этого процесса. Классическая скорость излучения энергии движущейся частицей дается хорошо известной формулой (см. [13], стр. 762, уравнение (31); [11], гл. 2; [71], т. I, гл. V)

При вычислении входящих в (2.45) величин и их временной зависимости удобно воспользоваться разложением в ряд Фурье. На периодической орбите с основной угловой частотой изменение каждой координаты можно представить в виде ряда Фурье. Например,

где В частности, для круговой орбиты имеем

так как в этом случае присутствует только одна основная частота. При движении по эллиптическим орбитам, как мы уже видели в п. 14, присутствуют также и более высокие гармоники.

Вообще говоря, движение может иметь больше чем один период. Действительно, в наиболее общем случае имеется столько периодов, сколько есть независимых степеней свободы. В такой системе, которая называется «многопериодной», мы находим, что если, например, координата х возвращается к своему первоначальному значению, то при этом координаты у и не возвращаются к нему. Следовательно, орбиты оказываются незамкнутыми, как это было и в однопериодной системе. Как мы видели в электрон в кулоновском поле совершает однопериодное движение. Здесь мы ограничимся рассмотрением задачи излучения только для однопериодных систем, однако метод обобщения этой задачи на случай многопериодных систем достаточно очевиден [3].

Мы вычислим здесь только излучение, создаваемое слагающей ускорения, ибо эффекты и -компонент движения могут быть получены совершенно таким же способом (см. (2.45)). В результате, мы получаем

Усреднение по периоду дает

Мы видим, таким образом, что энергия состоит из суммы отдельных членов, по одному для каждой гармоники. Но так как радиус

электронной орбиты обычно мал по сравнению с длиной волны, то можно принять, что излучение будет таким, как если бы источником его был точечный диполь, момент которого изменяется со временем, так же как и х. Далее, можно показать, что такой диполь излучает каждую гармонику независимо от всех других. Следовательно, можно заключить, что каждый из членов ряда в уравнении (2.48) дает скорость излучения энергии с частотой соответствующей гармоники Таким образом, получаем

Обратимся теперь к квантовой теории. В классическом пределе скорость испускания кванта гармоники должна быть такой, чтобы можно было получить совпадение с классической скоростью излучения энергии. Это означает, что

где

Строго этот результат справедлив только в классическом пределе, когда мало относительное изменение энергии электрона, приходящееся на один испускаемый квант. Даже в случае малых квантовых чисел он редко бывает очень неправилен, поэтому его можно использовать в качестве приближенного выражения и в этой области. Как мы увидим в гл. 18, точные выражения для вероятности излучения можно найти с помощью волнового уравнения.

-й гармонике излучения должен соответствовать квантовый переход между состояниями, у которых изменение квантового числа равно Для доказательства вспомним, что в классическом пределе где основная частота. Но так что Пока рассматриваются большие квантовые числа, расстояние между уровнями не изменяется сильно при малых изменениях Следовательно, испускаемые частоты будут почти точно равны целому кратному числу от основной частоты. Однако лучшим приближением является следующее:

Заменяя через получаем

В классическом пределе второй член очень мал по сравнению с первым. Это видно хотя бы из отношения двух последовательных членов ряда, которое равно

Мы знаем, что Следовательно, отношение будет равно Но является изменением частоты, возникающим в результате изменения переменной действия а эта величина в классическом пределе очень мала. Следовательно, частоты гармоник относятся как целые числа. Однако когда квантовые числа становятся малыми, то расстояние между энергетическими уровнями перестает быть почти однородным, и испускаемые частоты уже не относятся друг к другу как целые числа, хотя они и связаны комбинационным принципом Ридберга — Ритца. Действительно, мы видим, что в классическом пределе принцип Ридберга — Ритца приводит точно к классическим гармоникам.

Из уравнения (2.51) можно заключить, что большие изменения квантового числа вероятны лишь тогда, когда классически вычисленное движение содержит высокие гармоники. В водороде это случай орбит с большим эксцентриситетом. Однако при переходах между круговыми орбитами присутствует только основная частота, так что квантовое число в этом случае может изменяться только на единицу.

Рассмотрим теперь, что может произойти с электроном, о котором известно, что он находится в квантовом состоянии при Если есть другие состояния с более низкой энергией, то электрон может, испустив квант, перейти в одно из этих более низких состояний. Предположим, что вероятность перехода электрона за единицу времени в состояние равна (Для больших квантовых чисел может быть вычислено по уравнению (2.51). Заметим, что в переходе, включающем гармонику, изменение квантового числа равно Однако для малых квантовых чисел этот результат является только приближенным, для точного решения можно получить из волновой механики.) Полная вероятность перехода электрона за единицу времени из состояния равна где суммирование проводится только по тем состояниям для которых энергия меньше, чем в состоянии

Пусть вероятность пребывания электрона в состоянии. Вероятность ухода электрона из состояния за интервал времени между равняется произведению вероятности на вероятность являющейся вероятностью того, что электрон, находящийся в данном состоянии, покинет его за время Следовательно,

или, интегрируя и подставляя получаем

Таким образом, вероятность пребывания частицы в состоянии убывает экспоненциально со временем. За время вероятность уменьшается в раз, а затем вскоре становится ничтожно малой. Таким образом, среднее время жизни атома в возбужденном состоянии будет порядка

Если электрон находится в наинизшем энергетическом состоянии (например, в состоянии с в атоме водорода), то дальнейшие переходы с излучением энергии невозможны, так как нет другого состояния, в которое электрон мог бы перейти, если только он не получит достаточной энергии от падающего кванта или от других источников, например от пучка быстрых частиц. Следовательно, если атом предоставлен самому себе, то он стремится достигнуть наинизшего квантового состояния, после чего с ним уже ничего не может произойти. Таким образом, квантовая теория объясняет устойчивость атомов, в то время как из классической теории следует, что электроны будут продолжать изучать до тех пор, пока они не упадут на ядро.

Задача 10. Предположим, что электрон первоначально находится в квантовом состоянии и что он может совершать переходы по всей области состояний, среди которых есть состояние. Полная вероятность перехода электрона за единицу времени из состояния в любое более низкое состояние равна состояние — равна Полная вероятность перехода электрона из состояния в любое более низкое состояние равна Вычислить вероятность пребывания электрона в состоянии.

Задача 11. Определить энергетические уровни частицы массы в ящике длины Следует рассматривать только одно измерение.

Задача 12. Определить энергетические уровни частицы в гравитационном поле с ускорением падающей с некоторого уровня на идеально упругий пол.

Задача 13. Каково среднее время жизни электрона, в первом возбужденном состоянии атома водорода? Используйте грубый метод в рамках принципа соответствия, описанный выше. Сравните результат с точно вычисленным временем жизни при помощи квантовой механики.

Задача 14. Найдите энергетические уровни жесткого двухмерного ротатора с моментом инерции

Выводы. Дискретность и отсутствие полной механической причинности в элементарных квантовых процессах глубоко изменили наши общие представления о природе материи и энергии. Несмотря на то, что квантовая и классическая теории весьма различны, принцип соответствия устанавливает между ними очень тесную связь. Используя ее, можно определить общий характер квантовой теории, требуя, чтобы она давала правильное приближение в классическом пределе.