6. Поляризация волн.

Применим теперь условие к уравнению (1.20). Это дает

Существует хорошо известная теорема, что если ряд Фурье тождественно равен нулю, то все коэффициенты а и этого ряда должны также равняться нулю.

Задача 1. Доказать приведенную выше теорему, используя условие ортогональности (1.17).

Из сказанного выше следует, что должны выполняться равенства Таким образом, векторы оказываются перпендикулярны к вектору , так же как и векторы напряженности электрического и магнитного полей волны. Таким образом, колебания нормальны к направлению распространения: волны являются поперечными. Направление электрического поля принято также называть направлением поляризации.

Чтобы определить направление векторов вернемся к системе координат, в которой ось совпадает с вектором . Вектор может иметь только компоненты вдоль осей х и у, и если мы определим их величины, то определим и величину, и направление вектора

Обозначим направление вектора значком записывая этот вектор с двумя индексами где принимает значения 1 и 2. При вектор направлен вдоль оси х, а при вдоль оси у. Тогда все возможные векторы можно представить в виде суммы некоторых векторов Следовательно, в наиболее общем виде векторный потенциал, удовлетворяющий условию может быть представлен формулой

Здесь суммирование распространяется по всем возможным значениям векторов к и по двум возможным значениям индекса

Используя формулы (1.14) и (1.21), можно проверить, что векторы удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению:

Это показывает, что а определяет собой осциллятор с простым гармоническим движением и с угловой частотой