7. Обобщение на случай переменных, обладающих произвольно большим числом собственных значений.

Можно довольно просто обобщить полученный в п. 6 результат на случай переменных, имеющих произвольно большое число собственных значений. Мы видим из уравнения (22.9), что волновая функция аппаратуры претерпевает изменение, которое зависит от квантового состояния

исследуемой системы. Если надо получить достаточно точные результаты наблюдения, то взаимодействие между аппаратурой и исследуемой системой должно быть настолько сильным, что соседние квантовые числа исследуемой системы приводят к классически различимым состояниям аппаратуры, т. е. к волновым функциям аппаратуры, разделенным многими квантовыми состояниями. Мы увидим, что в принципе всегда возможно достичь этого результата, сделав произведение силы взаимодействия на время, в течение которого она действует, достаточно большим.

Начнем с уравнения (22.9). Заметим прежде всего, что в частном случае, когда диагонально в том же самом представлении, в котором и у диагонально (т. е. является функцией только у и не содержит операторов вида ), уравнение (22.9) легко интегрируется. Пользуемся начальным условием, что при волновая функция системы 5 равна см. уравнение волновая функция аппаратуры имеет вид поэтому полная волновая функция равна Тогда уравнение (22.9) дает

Это является обобщением уравнений (22.15), где, как мы отмечали, было также только функцией

Если недиагонально в том же представлении, в котором диагонально у, то можно всегда произвести унитарное преобразование к представлению, в котором диагонально (это возможно всегда, когда эрмитовский оператор). После того, как преобразование выполнено, мы можем интегрировать уравнение Шредингера, как это делалось выше, а затем провести обратное унитарное преобразование к первоначальным переменным. Однако ниже мы ограничимся случаем, когда диагонально в том же представлении, что и у, учитывая возможность легко обобщить рассматриваемый случай описанным выше приемом.

Вспомним, что квантовое число данного квантового состояния равно числу узлов волновой функции для этого состояния. Так как множитель общий для всех волновых функций в уравнении (22.20), то ясно, что различие в числе гармоник для различных значений зависит только от множителя

Вещественная часть будет иметь узел каждый раз, когда

где целое число. Однако волновая функция имеет заметное значение только в ограниченной области в которой значительна величина Внутри этой области можно обычно ограничиться для первыми двумя членами степенного ряда:

где

В той области, в которой волновая функция значительна, разность числе узлов для соседних величин будет по порядку величины равна

Ясно, что если разность сделать достаточно большой, то может быть произвольно большой величиной. В частности, можно сделать столь большой, что соседние квантовые состояния системы 5 приведут к классически описываемым состояниям аппаратуры.

Интересно заметить, что если измерения были сделаны достаточно хорошо, то волновые функции измерительной аппаратуры, соответствующие различным значениям будут приближенно ортогональны. Чтобы показать это, рассмотрим интеграл

Этот интеграл входит в определение ортогональности волновых функций измерительной аппаратуры, соответствующих соседним квантовым состояниям системы 5. Интеграл приближенно равен следующему выражению:

Функция похожа на волновой пакет. Интеграл ортогональности как раз представляет компоненту Фурье при соответствующую Эта компонента

Фурье будет велика только в ограниченной области Но, согласно уравнению (22.216), если только было произведено достаточно точное измерение, получаем

Следовательно, если взаимодействие достаточно сильно, чтобы обеспечить точное измерение, то поэтому компонента Фурье соответствующая будет очень мала. Это означает, что волновые функции аппаратуры, соответствующие соседним значениям очень близки к ортогональным.

В качестве примера рассмотрим спиновую волновую функцию. В п. 6 было показано, что если сделано достаточно точное измерение спина, то волновой пакет, соответствующий настолько далек от волнового пакета, соответствующего что они нигде заметно не перекрываются. В результате подынтегральная функция интеграла повсюду очень мала, и поэтому очень мал сам интеграл.