Гипотеза Планка

11. Квантование осцилляторов излучения.

В поисках путей изменения описанного выше способа трактовки, которые дали бы возможность уменьшить долю энергии, излучаемой в области высоких частот, Планк вынужден был сделать следующее предположение: энергия осциллятора с собственной частотой может принимать только значения, кратные величине Эта основная единица энергии неодинакова для всех осцилляторов, так как она пропорциональна частоте. Таким образом, энергия осциллятора равна где целое число, изменяющееся от 0 до . С помощью этого предположения Планк получил точное соответствие, в пределах экспериментальных ошибок, между теоретической формулой и наблюдаемым распределением энергии излучения по частотам.

Согласно классической механике, не должно существовать никаких ограничений, накладываемых на возможные значения энергии, которыми может обладать осциллятор. Опыты с такими осцилляторами, как радиоволны, часовые пружины и маятники, как будто бы подтверждают такое утверждение. Как же можно согласовать гипотезу Планка с этими хорошо известными результатами? Ответ заключается в том, что постоянная оказывается очень малой величиной, равной приближенно сек. Следовательно, даже для микроволн, обладающих частотой гц, основная единица энергии равна всего лишь ее можно обнаружить, только применяя наиболее чувствительную из существующих ныне измерительных аппаратур. Ясно, что в часовых пружинах и маятниках, с периодом порядка 1 сек, основная единица энергии настолько мала, что при относительно грубых наблюдениях, которые сейчас можно производить, возможные значения энергии кажутся нам непрерывными.

Однако для световых волн частот порядка гц энергия оказывается порядка эту величину уже можно обнаружить при помощи чувствительных приборов. Поэтому при переходе в область более высоких частот, где основная единица энергии возрастает, становится легче наблюдать квантование уровней энергии.

Чтобы получить формулу Планка для распределения энергии, необходимо определить вероятность того, что осциллятор обладает возможным значением энергии. Если столь велико, что дискретный характер энергии становится несущественным (например, в случае радиоволн), то мы должны получить результат, совпадающий с классической механикой, которая, как известно, справедлива в этой области длин волн. Для получения такого согласия проще всего выбрать вероятность в виде той же функции энергии, как и в

классической теории, а именно в виде Тогда для заданной энергии вероятность равна

Нормируя это выражение, находим

Средняя энергия равна

Для вычисления этой суммы напишем

Применяя этот результат, получим при

Умножая (1.32а) на находим функцию распределения Планка