8. Вероятность определения значений импульса.

Итак, мы получили последовательную математическую формулировку того факта, что электроны обнаруживают свойства волны и частицы, введя следующее предположение: интенсивность волн в данной точке дает лишь вероятность обнаружить частицу в данной точке. Однако в общем случае нас могут интересовать возможности измерения и других свойств электрона, помимо его положения в пространстве; наиболее важными из них являются его импульс и энергия. В классической физике, например, знание начального положения и импульса (а следовательно, энергии) каждой частицы во вселенной, а также сил между частицами, в принципе, необходимо и достаточно для полного определения движения системы в будущем. Поскольку в квантовой теории волновое уравнение играет роль уравнения движения, то надо исследовать, в какой мере волновая функция определяет импульс электрона.

С этой целью мы воспользуемся экспериментальным фактом, что волна, имеющая длину X, всегда связана с импульсом соотношением а частота волны с энергией Но, как мы видели в гл. 3, все реальные волны имеют форму пакетов, которые включают в себя целый интервал значений частот и длин волн. Однако, как будет показано на нескольких примерах, в реальном опыте по

измерению импульса всегда возможно подобрать условия, при которых получается какое-то определенное значение импульса, несмотря на то, что волновой пакет содержит ряд значений импульса. Это аналогично тому, что случается при измерении положения, где также всегда находят какое-то определенное значение даже после того, как волновая функция расплывается на большую область пространства.

Здесь следует указать, что, пока речь идет о классической физике, частица есть нечто, обладающее одновременно определенным положением и определенным импульсом. Наоборот, в квантовой теории мы увидим, что, например, для электрона можно найти или определенное положение, или определенный импульс, но не оба эти свойства одновременно. В известном смысле корпускулярная природа электрона и вытекает из возможности обнаружить определенные значения или положения, или импульса. Мы увидим, что квант света тоже может обладать определенным импульсом. Однако, как было показано в п. 7, он занимает положение, которое не может быть определено точнее, чем величина длины волны. Поэтому нужно сделать заключение, что квант света обнаруживает значительно меньшее сходство с классической частицей, чем электрон, но все же иногда имеет смысл рассматривать квант как частицу вследствие его определенного импульса.

Аналогично определению функции как плотности вероятности в пространстве координат разумно предположить, что функция пропорциональна плотности вероятности в k-пространстве, т. е. в пространстве импульсов. Правильность такого выбора будет позже доказана. Такая трактовка коэффициентов Фурье означает лишь, что в волновом пакете никогда нельзя ни предсказать, ни обнаружить точного значения импульса, а можно определить лишь вероятность данного значения к с помощью волновой функции. Проводя ряд опытов с одинаковыми начальными экспериментальными условиями, можно получить статистическое распределение импульсов по области и определить характер распределения векторов к в импульсном пространстве точно так же, как определяется статистическое распределение наблюдаемых положений, задаваемое распределением х в пространстве координат. Таким образом, мы обобщим корпускулярно-волновой дуализм, используя наряду с пространством координат также пространство импульсов.

Для иллюстрации приведенных выше утверждений и доказательства того, что плотность вероятности в пространстве импульсов пропорциональна функции рассмотрим опыт, в котором электромагнитная волна дифрагирует от решетки. Если падающая волна обладает определенным волновым вектором к, то дифрагирующая волна будет отражаться от решетки лишь под определенными углами. Например, волна, которая падает на решетку нормально, отражается под углами, определяемыми выражением где

расстояние между соседними полосами решетки, порядок спектра. Однако если падающая волна имеет форму пакета, то каждая компонента Фурье дифрагирует независимо и отражается под углом , соответствующим своему волновому числу, определяемому приведенными выше формулами. Таким образом, решетка производит разложение пакета в спектр, как показано на рис. 16. В известном смысле, решетка производит разложение Фурье для пакета таким образом, что амплитуда волны отраженной под заданным углом , пропорциональна амплитуде соответствующего коэффициента Фурье падающей волны.

Рис. 16.

Аналогично интенсивность пропорциональна а потому также и

Рассмотрим теперь, что случится, если падающий пакет содержит только один квант. Поскольку дифрагирующая волна тоже будет содержать только один квант, то столкновение света с экраном произойдет лишь в одной точке. Вероятность отражения кванта под заданным углом 8, как мы видели по (2.43), пропорциональна следовательно,

Но если квант отражается под углом , то его волновое число равно а импульс равняется Так как длина волны не изменяется при дифракции, то полный импульс также остается постоянным (хотя его направление изменяется). В результате измерение угла определяет импульс, который имела частица до столкновения с решеткой. Это показывает, что, хотя имеется некоторое распределение коэффициентов Фурье в каждом отдельном опыте мы определяем только одно значение импульса в данный момент времени. Кроме того, вероятность обнаружить заданное значение импульса пропорциональна

Хотя и существует распределение импульсов, а следовательно, и энергий, связь между энергией и импульсом для кванта света остается точной и определенной. Этот важный факт следует из соотношений де Бройля, а также из соотношения которое справедливо для электромагнитной волны в вакууме.

Аналогичный результат может быть получен и для электронов. Рассмотрим опыт Дэвиссона — Джермера, в котором пучок

электронов направляется на кристалл. Вследствие своих волновых свойств электроны дифрагируют так же, как световые волны. Электрон с определенным импульсом, падающий нормально на поверхность кристалла, отражается под определенным углом, который находится из выражения Если волновая функция электрона представляет волновой пакет, то в результате дифракции должен появиться спектр отраженных волн, и каждая компонента Фурье будет дифрагировать независимо под своим углом. Однако любой электрон должен попадать на детектор под определенным углом, и вероятность этого равна где -волновая функция для данного угла. Но так же, как и в случае кванта света, можно показать, что и что абсолютное значение импульса не изменяется при дифракции. Таким образом, измерение угла дифракции определяет импульс частицы по дифракции, поэтому опыты по дифракции при желании могут быть использованы для измерения импульса. Итак, можно заключить, что вероятность найти импульс электрона в интервале от до должна быть пропорциональна

Хотя существует распределение импульсов и энергий, но, как уже отмечалось для фотонов, связь между этими двумя величинами (и в данном случае равная ), совершенно точна. Это следует из соотношений де Бройля, а также из дисперсионного соотношения для частоты которое можно получить из уравнения Шрёдингера.