51. Адиабатическое включение потенциала, приводящее к возмущению стационарного состояния.

Из уравнения (18.1096) вытекают два важных следствия.

Во-первых, полная волновая функция (см. уравнение (18.4)) может быть записана в виде

Согласно уравнению (18.11), но так как стремится к постоянной величине для то имеем (для

Следовательно, где постоянный фазовый множитель. Постоянный фазовый множитель не имеет физического значения, он может быть включен в функцию

Для адиабатического случая коэффициенты можно вычислить из уравнения (18.1096), поэтому для (18.110) получаем

Так как сумма по пропорциональна параметру А, то ее можно умножить на функцию что приводит к ошибке самое

большее порядка Следовательно, в первом приближении получаем

Второй важный результат, получаемый из уравнения (18.1096), гласит:

Оба эти результата представляют значительный интерес. Первый из них (уравнение показывает, что полная волновая функция колеблется (с точностью до членов первого порядка по I) с угловой частотой Поэтому система находится в стационарном состоянии и все вероятности остаются постоянными во времени. Например, вероятность того, что система может находиться в состоянии, дается уравнением (18.1116).

Этот результат справедлив, только если возмущение включается очень медленно. Если бы оно было включено быстро, то не имело бы вида и тогда присутствовали бы другие различные частоты колебаний. Поэтому система не была бы в стационарном состоянии и вероятности флуктуировали бы со временем, как показано в уравнении (18.14а), которое описывает случай внезапного включения возмущения в момент

Как можно описать возникновение такого стационарного состояния? Можно по-прежнему воспользоваться представлениями, изложенными в где принимается, что возмущение создает непрерывную возможность для системы совершать переходы в другие собственные состояния невозмущенной энергии Однако если возмущение включается медленно, то система остается в состоянии, из которого переходы в другие состояния компенсируются обратными переходами в первоначальное состояние. В результате вероятность нахождения электрона в некотором другом состоянии остается постоянной с точностью до медленного возрастания вероятности, которое происходит во время включения возмущения. Если бы возмущение включалось быстро, то должна была бы существовать нескомпенсированная, а потому быстро флуктуирующая вероятность того, что система должна совершать переход в какое-то другое состояние. Эта вероятность аналогична появлению свободных колебаний во внезапно возбужденном гармоническом осцилляторе. Однако следует еще раз подчеркнуть, что такая картина флуктуаций носит лишь приближенный характер, так как возможна интерференция между различными функциями Для учета этого эффекта нужно представить себе,

что система флуктуирует одновременно во все возможные состояния, т. е. она одновременно находится во всех этих состояниях.

Можно задать вопрос, почему тут нет противоречия с законом сохранения энергии, хотя существует постоянная вероятность того, что частица может быть обнаружена в состоянии с энергией, отличной от ее первоначального значения на величину Причина этого заключается в том, что оператор энергии системы теперь равен сумме Существует небольшая неопределенность в из-за присутствия других собственных функций в волновой функции с малыми коэффициентами Но полная энергия равна точно постоянной умноженной на частоту колебаний волновой функции, и она также равна

Система обладает приближенной пространственной волновой функцией

и оператор полной энергии имеет определенное собственное значение, несмотря на то, что оператор невозмущенной энергии не имеет определенного собственного значения. (Конечно, все это справедливо только с точностью до членов первого порядка по Поэтому функция и является первым приближением для собственной функции оператора соответствующей собственному значению первого приближения.

Случай вырождения. Если какие-нибудь уровни невозмущенной системы вырождены, то ясно, что независимо от того, насколько медленно включается возмущение, невозможно удовлетворить условию Таким образом, в случае вырожденных уровней приведенная выше трактовка неприменима не только потому, что теория возмущений, как мы видели, несправедлива для бесконечно большого времени, но еще и потому, что нельзя применить условие адиабатичности. Случай вырождения будет разобран в гл. 19.