8. Полуклассическое описание частицы с неопределенными координатой и импульсом.
В гл. 5. п. 4 было показано, что в первом приближении квантовые свойства материи можно описать через классическую частицу с неопределенными импульсом и координатой, если только принять, что
Однако в гл. 6, п. 11 мы видели, что этим представлением надо пользоваться осторожно, так как оно не дает вполне точного представления о волновых свойствах материи. Все же в определенных пределах оно часто бывает очень полезно. Например, результаты предыдущего пункта молчаливо интерпретировались с помощью представления о том, что электрон до некоторой степени действует как классическая частица с вероятностным распределением импульсов и
координат. Тогда расплывание волнового пакета связано с тем, что частицы, имеющие разную скорость, проходят в одно и то же время разные расстояния. Этот процесс вводит корреляцию между 
их, поскольку наиболее быстрые частицы проходят наибольшие расстояния.
Представляет интерес выразить расплывание распределения вероятности в виде диаграммы в фазовом пространстве. Первоначальное распределение вероятности пропорционально 
в координатном пространстве. Как было показано при помощи разложения в ряд Фурье (см. гл. 3, п. 2), это распределение пропорционально 
в пространстве импульсов. Классическую частицу с таким распределением вероятности скорее всего можно обнаружить в эллипсе фазового пространства с центром в начале координат и с полуосями 
и 
как показано на рис. 25.
Рис. 25.
Площадь этого эллипса приблизительно равна 
. С течением времени частицы с положительным импульсом движутся вправо, а частицы с отрицательным импульсом — влево. Следовательно, эллипс скашивается, как показано на рис. 25. Центр эллипса не изменяет своего положения, Др также не меняется, поскольку каждая частица движется с постоянной скоростью, но 
возрастает.
Задача 4. Доказать, что площадь эллипса остается постоянной (это частный случай теоремы Лиувилля).
Задача 5, Доказать, что корреляционная функция 
полученная путем применения гауссовского классического распределения импульсов и координат частицы, не отличается от той же функции, полученной с помощью квантовой теории. Показать, что 
напротив, не одинакова в этих двух случаях, а различается на величины порядка 
(Это частный случай общего вывода о том, что волновые свойства материи нельзя полностью выразить с помощью классического представления о частице с неопределенным импульсом и координатой.)
Задача 6. Подробно исследовать способ, с помощью которого можно отдать предпочтение одной из корреляционных функций в этом случае так, чтобы произведение 
вычислялось с минимальной неопределенностью порядка 
независимо от ширины волнового пакета.
