8. Полуклассическое описание частицы с неопределенными координатой и импульсом.

В гл. 5. п. 4 было показано, что в первом приближении квантовые свойства материи можно описать через классическую частицу с неопределенными импульсом и координатой, если только принять, что

Однако в гл. 6, п. 11 мы видели, что этим представлением надо пользоваться осторожно, так как оно не дает вполне точного представления о волновых свойствах материи. Все же в определенных пределах оно часто бывает очень полезно. Например, результаты предыдущего пункта молчаливо интерпретировались с помощью представления о том, что электрон до некоторой степени действует как классическая частица с вероятностным распределением импульсов и

координат. Тогда расплывание волнового пакета связано с тем, что частицы, имеющие разную скорость, проходят в одно и то же время разные расстояния. Этот процесс вводит корреляцию между их, поскольку наиболее быстрые частицы проходят наибольшие расстояния.

Представляет интерес выразить расплывание распределения вероятности в виде диаграммы в фазовом пространстве. Первоначальное распределение вероятности пропорционально в координатном пространстве. Как было показано при помощи разложения в ряд Фурье (см. гл. 3, п. 2), это распределение пропорционально в пространстве импульсов. Классическую частицу с таким распределением вероятности скорее всего можно обнаружить в эллипсе фазового пространства с центром в начале координат и с полуосями и как показано на рис. 25.

Рис. 25.

Площадь этого эллипса приблизительно равна . С течением времени частицы с положительным импульсом движутся вправо, а частицы с отрицательным импульсом — влево. Следовательно, эллипс скашивается, как показано на рис. 25. Центр эллипса не изменяет своего положения, Др также не меняется, поскольку каждая частица движется с постоянной скоростью, но возрастает.

Задача 4. Доказать, что площадь эллипса остается постоянной (это частный случай теоремы Лиувилля).

Задача 5, Доказать, что корреляционная функция полученная путем применения гауссовского классического распределения импульсов и координат частицы, не отличается от той же функции, полученной с помощью квантовой теории. Показать, что напротив, не одинакова в этих двух случаях, а различается на величины порядка (Это частный случай общего вывода о том, что волновые свойства материи нельзя полностью выразить с помощью классического представления о частице с неопределенным импульсом и координатой.)

Задача 6. Подробно исследовать способ, с помощью которого можно отдать предпочтение одной из корреляционных функций в этом случае так, чтобы произведение вычислялось с минимальной неопределенностью порядка независимо от ширины волнового пакета.