20. Связь полиномов Эрмита — Чебышева со сферическими гармониками.

Здесь надо отметить, что если потенциал V является функцией только радиуса, то через него может быть выражено решение в виде произведения функции, зависящей только от радиуса, и сферической гармоники, как было сделано, например, в случае атома водорода. Такое решение можно получить из радиального уравнения, но мы возьмем это выражение непосредственно из решения (15.40). Рассмотрим сначала простейшие случаи.

Случай 1: . В этом случае волновая функция будет

Так как не является функцией от то ясно, что наинизшим состоянием является -состояние. Таким образом, функция уже выражена в виде произведения функции, зависящей только от радиуса, и нулевой сферической гармоники.

Случай 2: первое возбужденное состояние. Как уже было показано, этот уровень трижды вырожден. Может быть, что или в то время как все остальные равны нулю. Соответственно имеем три ненормированные собственные функции (см. выражение (13.28) для ):

(См. уравнение (14.71), где определена функция Составляя подходящие линейные комбинации из трех вырожденных собственных функций, можно получить волновые функции, являющиеся просто произведениями функций, зависящих только от радиуса, и сферических гармоник. Это дает

Для более высоких возбужденных состояний применяются аналогичные методы. Например, в случае второго возбужденного состояния мы можем добавить или множители или произведения типа Все эти полиномы можно выразить через функции от Сделав это, мы обнаружим, что для второго возбужденного состояния множители, зависящие от углов, содержат и Шесть вырожденных состояний можно тогда выразить в виде пяти состояний с и одного состояния с

Если три частоты не равны, то потенциал V не является функцией только радиуса и тогда нельзя выразить волновую функцию в виде простых произведений функций, зависящих только от радиуса, и сферических гармоник. Например, волновая функция наинизшего состояния будет иметь вид

Эту функцию невозможно записать как функцию от умноженную на сферическую гармонику.

Различным волновым функциям можно придать простой физический смысл. Например, для случая соответствующего колебанию только в направлении оси угловая часть функции равна поэтому в данном случае отсутствует -составляющая момента количества движения, как и следовало ожидать. Для случая соответствующего колебанию в направлении оси у, равновероятно, что (см. гл. 14, п. 17). Следовательно, хотя средняя величина равна нулю (как и следовало ожидать), это нулевое значение обусловлено тем, что с равной вероятностью может быть как +1, так и —1. Вышеприведенный результат

показывает, что, хотя частица и движется только в направлении оси у, она может находиться с любой стороны от начала координат и поэтому может иметь положительную или отрицательную составляющую момента количества движения.