21. Теорема для эрмитовских операторов.
Докажем теперь следующую теорему, которая понадобится позднее: если среднее значение эрмитовского оператора 
равно нулю для произвольного 
то 
должно быть тождественно равно нулю для всех 
Это означает, что 
Чтобы доказать это, начнем с определения Н:
Запишем теперь 
где 
произвольны:
Заметим, что по определению первые два члена равны нулю, следовательно,
Так как это соотношение справедливо для произвольного 
то 
можно заменить на где а — постоянная, тогда
Это может быть справедливо для произвольного а только, если каждый интеграл равен нулю. Таким образом, для произвольных 
получаем
Мы можем выбрать 
тогда
Но подынтегральное выражение в (9.29д) является абсолютным значением функции 
следовательно, по определению оно равно повсюду нулю или положительному числу. Поэтому интеграл в (9.29д) может быть ррен нулю только, если 
для всех 
или, другими словами, при 
Общий вывод об операторах в квантовой механике
Мы получили способ вычисления средних значений различных величин через волновую функцию 
или ее компоненты Фурье 
При этом оказалось, что удобно ввести определенные линейные операторы, которые обладают некоторыми формальными свойствами чисел, но не коммутируют. Эти операторы не имеют непосредственного физического смысла, а играют роль чисто математических символов, используемых при расчете средних значений физически наблюдаемых величин. Их употребление очень удобно и значительно упрощает задачу расчета средних значений. Поэтому операторы широко применяются в квантовой теории.
