13. Свойства ортогональности полиномов Эрмита — Чебышева.
Согласно гл. 10, п. 24, собственные функции эрмитовского оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Это означает, что
когда 
Предположим, что 
Тогда можно доказать приведенное выше утверждение, непосредственно записав
Это дает
Интегрируя по частям 
раз и замечая, что внеинтегральные члены равны нулю, приходим к выражению
Но дифференцирование полинома 
раз дает нуль, если 
Следовательно, мы доказали ортогональность собственных функций гамильтониана гармонического осциллятора.
14. Постулат разложения.
Согласно постулату разложения (гл. 10, п. 22), можно разложить произвольную функцию в ряд по собственным функциям оператора Гамильтона для гармонического осциллятора. Таким образом, для произвольной функции 
имеем
Для определения коэффициентов 
умножаем это выражение на 
и интегрируем по у. Используя свойства ортогональности и нормировки волновых функций, получаем
Пример. Разложение 
-функции. Полагая 
получаем
и
Заметим, что для образования 
-функции надо перейти к очень возбужденным состояниям осциллятора. Другими словами, если частица очень точно локализована независимо от того, где происходит такая локализация, то энергия становится весьма неопределенной.
Построение 
-функции из полиномов Эрмита — Чебышева можно проиллюстрировать, рассматривая только первые три полинома:
выражение симметрично относительно начала координат;
выражение также симметрично относительно начала координат, но равно там нулю;
это произведение также симметрично относительно начала. Рассмотрим теперь линейные комбинации 
Таким образом, возможно образовать функцию, которая мала для отрицательных у и велика для положительных у. (Например, если положить 
Рис. 65.
Такая функция показана на рис. 65. Если включать все больше и больше полиномов, то образуется все более и более локализованный пакет. Самое существенное здесь то, что для получения локализованного пакета требуется много энергетических состояний.
