Волновое уравнение
Займемся теперь выводом волнового уравнения. Волновое уравнение в общем случае является дифференциальным уравнением в частных производных, удовлетворяемым волновой функцией 
природа которой станет ясной нам в каждом случае вывода и применения этого уравнения. В этом разделе мы рассмотрим только частный случай свободной частицы, а в части II эти результаты будут обобщены на произвольную систему.
17. Ряды и интегралы Фурье.
Первым шагом при установлении волнового уравнения является изучение закона распространения волн произвольной формы. Для этого удобно воспользоваться разложением в ряд Фурье. При выводе закона Релея — Джинса оно использовалось для представления произвольной электромагнитной волны, заполняющей большую полость. Здесь желательно пользоваться волнами, ничем не ограниченными, так как мы хотим исследовать случай свободных частиц. Поэтому мы перейдем от ряда Фурье к так называемому интегралу Фурье.
Интеграл Фурье можно получить многими способами, но самый простой из них состоит в том, что берут ряд Фурье, разложенный внутри большой полости с ребром 
и стремят размеры этой полости к бесконечности. В целях большего удобства вычисления целесообразно воспользоваться комплексными функциями 
а не вещественными 
и 
Тогда ряд Фурье в одномерном случае можно записать в таком виде:
где 
коэффициенты. Если ребро 
становится очень большим и если 
непрерывные функции 
то изменение каждого члена ряда в результате изменения 
на единицу становится очень малым. Следовательно, сумму можно заменить интегралом. Так как 
то в сумму можно просто подставить 
а затем заменить на 
в интеграле. Кроме того, можно написать 
в результате получаем
Это выражение и называется интегралом Фурье. Используя прием, который был применен нами в уравнении (1.17), можно показать, что если известна функция то можно вычислить и
коэффициенты 
В результате имеем
Подставляя полученное выражение в уравнение (3.25), находим
Это тождество называется интегральной теоремой Фурье.
Самое существенное здесь то, что при соответствующем выборе коэффициентов 
можно представить произвольную функцию 
в неограниченной области при помощи интеграла Фурье.
