18. Определение произвольного оператора при помощи его коммутаторов с полной системой коммутирующих операторов.

Можно показать, что произвольный оператор определяется через свой коммутатор с полной системой коммутирующих наблюдаемых величин. Здесь не будет доказываться общая теорема, а будет лишь рассмотрен пример, когда один оператор образует полную

систему коммутирующих величин. Пусть это будет оператор Гамильтона в одномерном пространстве в отсутствие вырождения, как это имело место в случае гармонического осциллятора.

Оператор совершенно достаточно определить в каком-то одном представлении, так как его вид в любом другом представлении можно определить с помощью унитарного преобразования. Выберем здесь такое представление, в котором оператор диагонален, так что Предположим, что коммутатор произвольного оператора А с известен, так что имеем

Поскольку диагонален, получаем

Итак, если то можно найти решение для матрицы когда известна матрица Однако, если оператор вырожден, то он не представляет полной коммутирующей системы и для определения волновой функции необходимо знать дополнительные операторы. Как уже указывалось, можно провести более общее доказательство, которое покажет, что в этом случае можно также определить оператор А при известном С.

Поэтому определение коммутаторов операторов является одним из наиболее важных этапов в формулировке квантовой теории. До сих пор мы давали это определение, ограничиваясь эрмитовскими функциями которые выражаются в виде степенных рядов. Так как коммутатор их уже был найден в гл. 9, п. 11, то мы имеем адекватное определение для всех операторов этого общего типа. Некоторые видоизмененные правила для определения коммутаторов будут приведены в п. 23.