ГЛАВА 13. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

1. Введение.

Рассмотрим теперь гармонический осциллятор, который важен особенно потому, что поле излучения действует подобно совокупности таких осцилляторов (гл. 1, п. 8). Кроме того, многие системы можно представить приближенно в виде гармонического осциллятора. Например, потенциальная энергия двух атомов как функция расстояния между ними обычно представляется кривой, изображенной на рис. 61. Обычно существует некоторое расстояние для которого потенциал минимален. Эта точка соответствует устойчивому равновесию. Вблизи этой точки потенциал может быть разложен в ряд по степеням малых величин , а так как в этой точке то будем иметь

Рис. 61.

Это выражение и является потенциалом гармонического осциллятора.

В общем случае любую систему, находящуюся в устойчивом равновесии, можно вблизи положения равновесия представить в виде гармонического осциллятора.

2. Волновое уравнение.

Для осциллятора с квазиупругой постоянной потенциал равен угловая частота колебаний. Тогда волновое уравнение имеет вид

Удобно воспользоваться подстановкой

Тогда уравнение (13.2) примет вид

3. Общая форма решений.

Как показано на рис. 62, потенциальная яма имеет параболическую форму. Для достаточно больших значений потенциальная энергия всегда больше, чем полная энергия, поэтому решение волнового уравнения является линейной комбинацией вещественных экспоненциальных функций. Чтобы найти вид этих экспоненциальных функций, можно воспользоваться приближением ВКБ (см. уравнение (12.37)). Решение для больших будет содержать

Но для больших поэтому

Следовательно, решения по порядку величины равны

Нужно выбрать такое решение, которое экспоненциально убывает при больших Таким образом, если при больших отрицательных значениях х решение изменяется как

то и при больших положительных значениях х должен быть тот же тип решения. Поэтому необходимо, чтобы решение в области с положительной кинетической энергией (т. е. при ) имело вид убывающей экспоненциальной кривой. Эта задача аналогична определению связанных состояний в прямоугольной потенциальной яме (гл. 11, п. 12). Волновая функция наинизшего состояния не имеет узлов, как это показано на рис. 63. Волновая функция следующего

Рис. 62.

Рис. 63.

состояния, которое имеет один узел, показана на рис. 64. Следует заметить, что при более высоких энергиях не только происходит более быстрое затухание волновой функции, но также и возрастает область с положительным значением кинетической энергии. Для очень высоких квантовых состояний волновая функция имеет очень много колебаний, и приближение ВКБ (уравнение (12.17)) будет достаточно точным. В данном случае нет никаких ограничений числа возможных связанных состояний, так как при потенциал становится бесконечно большим. Поэтому всегда возможно увеличивать энергию и таким путем заставить волновую функцию совершить еще одно колебание прежде, чем она достигнет области с отрицательной кинетической энергией. Однако если ограничить бесконечный рост потенциала при больших значениях х, как это имеет место, например, в случае межатомных сил (см. рис. 61), то число связанных состояний будет конечным.

Рис. 64.

4. Методы точного решения.

Общий метод нахождения собственных значений и собственных функций для уравнения типа (13.3) прежде всего заключается в представлении решения вблизи равновесного состояния с помощью степенных рядов, в которых оставлено достаточное число членов, чтобы решение могло быть продолжено в область с экспоненциально спадающей функцией. Если ряды не сходятся во всей области, то может оказаться необходимым воспользоваться численным интегрированием или же последовательными разложениями в нескольких различных точках. В любом случае следует выбрать степенные ряды так, чтобы они непрерывно смыкались с экспоненциально убывающей функцией. В общем случае, как было показано для прямоугольной потенциальной ямы, такое смыкание осуществляется для определенной совокупности дискретных значений. Эти значения являются собственными значениями задачи, а соответствующие им решения — собственными функциями.