58. Кулоновское рассеяние.

Как было показано в п. 41, метод Релея, Факсена и Хольтсмарка неприменим в случае кулоновского потенциала, потому что волновая функция не стремится к значению при определенный фазовый фактор. Вместо этого фазовый фактор 8 изменяется пропорционально

Есть два способа решения этой задачи для кулоновского потенциала. Во-первых, можно воспользоваться тем обстоятельством, что кулоновские потенциалы фактически экранируются на некотором расстоянии и таким образом вернуться к методу Релея, Факсена и Хольтсмарка. Однако этот метод весьма громоздок, так как сдвиг фаз будет большим даже для парциальных волн, соответствующих очень большим моментам количества движения. Поэтому в разложении (21.63) для парциальных волн надо будет сохранять много членов. Мы укажем здесь на более удобный метод [28, 14], в котором не используется разложение по парциальным волнам, а ищется сразу полная волновая функция. В этом методе решение проводится в параболических координатах. Заметим прежде всего, что если за ось выбрать направление падающей волны, то вся система будет обладать цилиндрической симметрией и волновая функция будет функцией только и не будет зависеть от Следовательно, можно написать Переход к параболическим координатам совершается с помощью следующих формул:

Задача 15. Доказать, что линии являются ортогональными параболами (в плоскости

Задача 16. Показать, что

Из предыдущей задачи мы получаем волновое уравнение в параболических координатах, используя тот факт, что не является функцией

где атомный номер рассеивающего ядра, атомный номер рассеянной частицы, приведенная энергия рассеиваемой частицы, а ее приведенная масса. (Если две частицы имеют одинаковый знак заряда, то произведение положительно; в противном случае оно отрицательно.)

Покажем теперь, что искомое решение можно представить в таком виде:

для которого

Мы докажем правильность этого решения, если покажем возможность такого выбора чтобы удовлетворяло дифференциальному уравнению (21.94) и соответствовало граничным условиям. Прежде всего подставим в уравнение (21.94):

где

v - скорость падающей частицы. Уравнение (21.96а) совпадает с уравнением

которому удовлетворяет гипергеометрическая функция

Таким образом, решение уравнения (21.96а) (см. [33], гл. 14) имеет вид степенного ряда, сходящегося вблизи начала координат:

где С — постоянная, которую нужно определить.

Чтобы удовлетворить граничным условиям, требуем определенный вид для асимптотического значения функции Первые два члена этого разложения имеют вид ([33], гл. 14)

где

с