12. Предсказание дифракции электронов теорией Бора — Зоммерфельда.

Здесь уместно указать последующее объяснение Дьюэна ([5], стр. 77 или стр. 60 перевода), который показал возможность использования уже сформулированной в то время теории Бора — Зоммерфельда для предсказания наблюдаемой дифракции электронов. Рассмотрим электрон, рассеиваемый на какой-нибудь периодической структуре типа дифракционной решетки с постоянной а (рис. 14). Согласно классической теории, слагающая скорости электрона вдоль решетки сохраняется до столкновения электрона с решеткой. Всякий раз, когда электрон - проходит расстояние а, сила взаимодействия электрона и решетки возвращается к прежнему значению, и так как скорость постоянна, то сила будет периодической.

Рис. 14.

Следовательно, можно с уверенностью сказать, что при передаче энергии решетке можно применять те же квантовые условия, как и в случае других периодических систем, например таких, как гармонический осциллятор. Поэтому величина действия может изменяться только на величины, кратные При вычислении заметим, что период равен следовательно, Квантовое условие имеет вид или Но, согласно волновой теории, изменение импульса равно

Таким образом, как расчет разрешенных орбит электрона в присутствии решетки по теории Бора — Зоммерфельда, так и расчет дифракции волн от решетки с помощью волновой теории приводят к одному и тому же выражению для угла отклонения. Однако в объяснении Дьюэна появление определенных углов обусловлено квантованием передачи импульса, а в волновой теории они возникают в результате интерференции электронных волн. Этот результат показывает, что два описанных метода действительно тесно связаны.

Следует заметить, однако, что результаты Дьюэна несколько неоднозначны, так как при вычислении периода неясно, следует ли пользоваться скоростью до столкновения или после. Но в классическом пределе, когда угол отклонения мал, это несущественно. В волновой же теории такая неоднозначность отсутствует.

Так как опыт Дэвиссона — Джермера можно объяснить с помощью теории Бора — Зоммерфельда, то могло бы показаться

соблазнительным воздержаться от такого радикального шага, как предположение, что электроны обладают некоторыми волновыми свойствами. Однако следует помнить, что теория Бора — Зоммерфельда может иметь дело лишь с периодическими движениями, в то время как волновая теория определяет условия квантования даже для апериодических движений. Кроме того, с логической точки зрения условия Бора — Зоммерфельда представляют собой просто произвольные ограничения на возможные движения частиц вещества, и они не способны описать, что происходит при переходах между разрешенными орбитами. Из волновой же теории естественно вытекает квантование разрешенных орбит в связи со спектром частот, полученных из граничных условий, которым должна удовлетворять волновая функция. Более того, неоднозначность, которая имеет место при малых квантовых числах в теории Бора — Зоммерфельда, отсутствует в волновой теории. Далее мы увидим, что волновая теория дает полное и количественно правильное объяснение, принципиально применимое ко всем явлениям и совпадающее с опытом для огромной совокупности явлений, для которых такое сравнение проводилось. Поэтому кажется наиболее правильным взять за основу волновую теорию, а теорию Бора — Зоммерфельда получить из нее как определенное приближение. Итак, мы пришли к выводу, что благодаря волновым свойствам и электрон, и решетка могут обмениваться лишь дискретными значениями импульса, причем эти разрешенные кванты для электрона и решетки оказываются одинаковыми, что указывает на внутреннюю согласованность всей теории в целом.