11. Некоторые вспомогательные математические соотношения.

Мы уже видели, что, задавая собственную функцию можно всегда построить собственную функцию, принадлежащую следующему, более высокому или более низкому собственному значению, умножая соответственно первую функцию на оператор или Это будет полезно нам позже, когда нужно будет выразить влияние этого оператора с помощью нормированных собственных функций Заметим прежде всего, что , где С - постоянная,

которую надо выбрать так, чтобы сделать также нормированной функцией. Поскольку предполагается, что нормированная функция, то

Замечая, что получаем

Для получения напишем (см. уравнение

Воспользовавшись также доказанным соотношением получим

12. Общий вид решения

n-я собственная функция равна полиному степени, умноженному на Последний множитель обеспечивает стремление волновой функции к нулю при Полином имеет корней, следовательно, волновая функция имеет узлов. В этом отношении она качественно похожа на волновые функции приближения ВКБ (гл. 12, п. 13; см. также [10], стр. 73—82), так как при узлах она будет претерпевать соответствующее число колебаний. Мы видим еще раз, что номер квантового состояния равен числу узлов решения, В общем случае волновая функция колеблется внутри классически достижимой области и затухает по гауссовскому закону там, где