21. Разложение произвольной функции в ряд по собственным функциям.

Математическая теорема, приводимая здесь без доказательства, утверждает, что произвольную функцию можно разложить в ряд, включающий все собственные функции любого эрмитовского оператора, удовлетворяющего определенным условиям регулярности, которые здесь не приводятся.

Более точно теорема гласит следующее: пусть А — эрмитовский оператор, удовлетворяющий условиям регулярности, с собственными значениями а и собственными функциями Тогда при подходящем выборе коэффициентов можно разложить произвольную (достаточно регулярную) функцию в ряд вида

Суммирование здесь проводится по всем возможным значениям а. Если А обладает непрерывным рядом собственных значений, то сумма заменяется интегралом

Если А обладает и дискретными, и непрерывными собственными значениями, то производится суммирование по всем дискретным величинам и интегрирование по всем непрерывным величинам.

Примеры, собственная функция эрмитовского оператора . В ящике (см. п. 20) единственно возможными значениями являются где размер ящика, целое число. Наша теорема гласит, что можно разложить любую волновую функцию, обращающуюся в нуль на стенках ящика, следующим образом:

Но это как раз ряды Фурье, в которых величина 4 ограничена нулем на границах при Мы уже знаем, что такими рядами Фурье можно выразить произвольную функцию этого типа. Поэтому разложение Фурье — это частный случай общей теоремы разложения.

б) - собственная функция эрмитовского оператора В свободном пространстве допустимы все значения поэтому величины непрерывны. Теорема разложения утверждает, что

Это — интеграл Фурье, который также является частным случаем теоремы разложения.

в) Собственными функциями оператора х являются функции Они образуют непрерывный ряд собственных функций, один для каждого значения По теореме разложения имеем

Мы уже видели из определения -функции, что это уравнение справедливо, следовательно, его можно рассматривать как частный случай теоремы разложения.

Позже, встречаясь с собственными функциями более сложных операторов, по теореме разложения мы построим новые типы рядов. Последние аналогичны рядам и интегралам Фурье, но включают новые функции, например функции Бесселя, полиномы Лежандра, эрмитовские полиномы и др.