12. Переход от системы координат центра инерции к лабораторной системе координат.

До сих пор все рассуждения велись в предположении, что рассеиватель остается в покое при столкновении, так как он намного тяжелее рассеиваемой частицы. Чтобы перейти к более общему случаю, начнем с рассмотрения хорошо известного результата классической механики (см. [11], стр. 120), согласно которому в координатной системе, движущейся с центром инерции двух частиц, уравнения движения для относительных координат оказываются точно такими же, как и уравнения движения для одной частицы с тем же потенциалом но с приведенной массой

и приведенной энергией Такой же общий результат справедлив и в квантовой теории. Поэтому уравнения для рассеяния могут быть решены точно таким же образом, как делалось раньше, при условии, что мы тщательно следим за правильным выбором постоянных.

В системе координат, связанной с центром инерции, обе частицы начинают приближаться к центру инерции с противоположных направлений и с такими скоростями, что полный момент количества движения равен нулю;

Частицы должны рассеиваться в противоположных направлениях, чтобы полный момент и после столкновения оставался равным нулю. Поэтому обе орбиты будут иметь вид, изображенный на рис. 102.

Теперь наша задача заключается в преобразовании поперечного сечения рассеяния вычисленного в системе центра инерции, обратно в лабораторную систему, в которой поперечное сечение рассеяния всегда наблюдается.

Для этого необходимо прежде всего преобразовать углы 6, измеренные в системе центра инерции, обратно в лабораторную систему. Столкновения обычно происходят между падающими частицами и рассеивающими, которые покоятся в лабораторной системе координат. Пусть масса последних будет а масса падающих частиц Пусть падающие частицы первоначально (т. е. до столкновения) двигались со скоростью например, по оси х. Тогда скорость центра инерции системы будет тоже направлена по оси х и равна

Рис. 102.

В системе, связанной с центром инерции, относительная скорость тоже равна Но теперь скорость каждой частицы обратно пропорциональна ее массе. Следовательно, перед столкновением для первой частицы

для второй частицы

После столкновения, которое приводит к рассеянию на угол в системе центра инерции, получаем

Заметим, что в результате столкновения относительная скорость остается неизменной.

Чтобы получить скорость в лабораторной системе после рассеяния, нужно прибавить скорость движения центра инерции к записанным выше х-слагающим скоростей:

Тогда углы отклонений частиц в лабораторной системе выражаются формулами

Эти уравнения полностью определяют углы, под которыми ударяется каждая из двух частиц, как функции угла рассеяния в системе центра инерции. Чтобы получить поперечник рассеяния в лабораторной системе, надо воспользоваться тем, что пропорционально числу частиц, которые рассеяны под углами, лежащими в интервале между число частиц, которые рассеяны под углами, лежащими в интервале между Если мы выбираем угол таким образом, чтобы он был связан с углом этим условием, то число частиц, рассеянных в соответствующих интервалах углов по определению должно быть одинаковым:

или

Для рассеянных частиц угол дается уравнением (21.18) для . Дифференцируя соотношение (21.18), получаем

В результате находим

Для вычисления поперечного сечения рассеяния как функции необходимо исключить 0 с помощью уравнения (21.18).

13. Обсуждение результатов.

Случай

Это случай, когда падающие частицы легче, чем рассеивающие частицы. Из уравнения (21.18) видно, что при малых будем иметь

При больших 8 связь между довольно сложная. Например, если то Это всегда осуществляется при Максимальный угол рассеяния 0 всегда равен

Случай

В этом случае, как легко видеть, максима тыюе значение 8 меньше чем Уравнение (21.20) по-прежнему имеет место при малых углах

Случай

Здесь получается Тогда максимум равен Угол в лабораторной системе равен как раз половине угла в системе центра инерции.

Задача 3. Может показаться, что есть резкий разрыв в форме поперечного сечения рассеяния, так как в случае максимальное значение а при лишь слегка меньшем максимальное значение 8 внезапно возрастает до значения Показать, что физически здесь нет никакого фактического разрыва, поскольку поперечное сечение рассеяния стремится к нулю для углов, больших когда приближается к

Очень часто есть возможность измерить угол отдачи рассеивающей частицы. Из уравнения (21.18) находим, что