7. Прямоугольная потенциальная яма.

Рассмотрим теперь прямоугольный потенциал для случая притяжения, а не отталкивания (рис. 40). Пусть потенциал будет равен — в области от до а и нулю во всех остальных точках. Далее, положим, что поток электронов направлен слева направо. Согласно классической физике, ни один электрон (если не повернет обратно от ямы, но, как мы уже видели, волновая теория приводит к тому, что электроны будут отражаться от мест с резким изменением потенциала в точках . В результате будут существовать отраженная и прошедшая волны, так же как и падающая.

Рис. 40.

Для решения этой задачи рассмотрим сначала область с где существует только прошедшая волна. Поэтому волновая функция имеет вид

где - импульс в этой области

В области ямы, от а до волновая функция имеет вид

где

Для выражения значений через А необходима непрерывность в точке

Решение этих уравнений дает

В области а волновая функция имеет вид

Чтобы были непрерывны в точке нужно потребовать

Коэффициент прозрачности при этом равен

Замечая, что

получаем

Этот результат очень интересен. Во-первых, мы видим, что при Это естественно, так как в таком случае потенциальной ямы вообще нет. Если то коэффициент прозрачности, вообще говоря, меньше единицы, что указывает на некоторое отражение. Это отражение от притягивающего потенциала есть результат волновой природы материи, оно напоминает отражение звуковой волны от открытого конца органной трубки. Однако есть один случай, когда даже если а именно, когда или где целое число.

Как следует понимать этот результат? Для выяснения его значения заметим, что эта задача подобна оптической задаче об интерферометре Фабри — Перо стр. 93 или [85], стр. 79). В нашей задаче волна отражается от резких изменений потенциала, которые соответствуют граням пластинки с текла в оптике, где также имеет место резкий скачок показателя преломления. Эта задача напоминает задачу о двух стеклянных пластинках, отстоящих на расстояние 2а. При рассмотрении задачи об интерферометре

Фабри — Перо было показано, что если волна, которая отражается от поверхности в точке возвращается обратно на поверхность после ее отражения в точке а с изменением фазы на то происходит усиление прошедшей волны вследствие интерференции со следующей приходящей волной. Таким образом, для определенных длин волн коэффициент прозрачности равен единице. Примерная зависимость коэффициента прозрачности от волнового числа показана на рис. 41.

Рис. 41.

Острота и ширина пиков зависят от коэффициента отражения, а в нашей задаче от отношения

Задача 5. Вычислить отражательную способность и показать, что