25. Новая форма уравнения Шредингера.

Таким образом, задача вычисления о сводится к задаче определения интенсивности расходящейся волны, что требует, строго говоря, решения уравнения Шредингера. Однако мы хотим развить приближенные методы, а это удобнее всего сделать, заменяя дифференциальное уравнение Шредингера эквивалентным интегральным уравнением (см. также [28], гл. 7).

Для этого рассмотрим опять уравнение (21.42), которое можно записать в виде

Полагая получаем

Теперь наша цель заключается в том, чтобы выразить как функцию от Для этого воспользуемся следующей теоремой:

Для доказательства путем прямого дифференцирования найдем, что при

Задача 7. Проверить это уравнение.

Следовательно, X удовлетворяет первому требованию к -функции, а именно что она равна нулю повсюду, за исключением точки Для доказательства, что это -функция, достаточно показать, что интеграл вышеприведенной функции, который взят по произвольной области, окружающей начало координат, есть конечная постоянная величина, не зависящая от размеров и формы области (см. определение -функции, гл. 10, п. 15).

Так когда то очевидно, что значение одинаково для всех областей интегрирования, включающих точку Следовательно, этот интеграл может быть вычислен, если найти его пределы при Поэтому выберем за область интегрирования сферу радиуса Так как то можно легко показать, что

Задача 8. Доказать это утверждение. Нам осталось лишь вычислить

С помощью теоремы Грина заменим этот объемный интеграл поверхностным:

Заменяя где элемент телесного угла, и интегрируя по (положив мы окончательно получаем в пределе при выражение

Итак, мы доказали, что интеграл от X есть конечная постоянная величина, не зависящая от области интегрирования, если последняя включает точку Это дополняет доказательство того, что X есть -функция.

Применим теперь эту теорему к нашей задаче, построив функцию

Используя уравнение (21.47), мы видим, что удовлетворяет уравнению (21.46). Единственным добавочным требованием, необходимым для доказательства того, что это является искомым решением, будет требование, чтобы функция содержала только расходящиеся волны, т. е. чтобы при эта функция принимала вид Для доказательства этого заметим, что функция должна стремиться к нулю при так как остается конечной. Поэтому основной вклад в интеграл (21.48) дают ограниченные значения Когда очень велико, то можно разложить в ряд по степеням Простое геометрическое рассмотрение показывает, что для больших получаем

где единичный вектор в направлении Это приводит к следующему разложению:

Таким образом, при действительно получается расходящаяся волна; если выбрать то, наоборот, получилась бы сходящаяся волна.

Теперь мы можем окончательно получить уравнение Шредингера в новой форме. Полагая имеем

При это выражение принимает вид

Уравнение (21.50) можно упростить, если учесть, что вектор к, который направлен вдоль расходящейся волны, равен Тогда получаем

Мы можем также написать (см. уравнения (21.43) и

26. Обсуждение результатов п. 26.

Уравнение (21.49) представляет собой интегральное уравнение, решение которого удовлетворяет уравнению Шредингера с правильными граничными условиями. Если написать то получаем

Это стандартное интегральное уравнение относительно функции Его можно приближенно решить стандартными методами, которые будут рассмотрены в Как мы увидим, оно имеет форму, делающую очень легким применение теории возмущений.

Можно получить простую физическую интерпретацию уравнения (21.49). Для этого заметим, что функцию можно рассматривать как часть волновой функции, созданную рассеивающим потенциалом. Функция имеет вид интеграла, содержащего функцию но это как раз и есть сферическая волна, расходящаяся из точки с длиной волны Каждая сферическая волна входит с амплитудным множителем Другими словами, каждая точка вносит свой вклад, равный произведению потенциала в этой точке на волновую функцию Заметим, что ф(полная волновая функция, включающая в себя как рассеянную, так и падающую волну. Эта картина точно соответствует френелевской дифракции в оптике [27, 85].

Рис. 108.

Асимптотическая форма волны (уравнение показывает, что расходящаяся волна, движущаяся в направлении представляет собой сумму ряда элементарных волн; возникающих в точках

Каждая точка вносит свою амплитуду а фаза изменяется на множитель Эта картина в точности соответствует дифракции Фраунгофера в оптике [27, 85], т. е. дифракционным полосам на бесконечности. Для иллюстрации этого на рис. 108 показано, как вычисляются дифракционные полосы решетки. При этом берут волну, которая пропорциональна амплитуде, существующей на решетке, и складывают доли от каждой части, беря их с фазой

где направление наблюдения, координата, измеренная вдоль направления решетки, а угол, показанный на рис. 108. Уравнения (21.50) и (21.51а) можно рассматривать как точную

формулировку принципа Гюйгенса для электронных волн (см. гл. 6, п. 3, а также [25], § 7).