22. Изменение операторов со временем в гейзенберговском представлении.

Очевидно, что волновая функция Шредингера в гамильтоновском представлении получена из функции в гейзенберговском представлении путем унитарного преобразования, которое обратно преобразованию (16.45а). Так как унитарное преобразование эквивалентно вращению в «пространстве волновых функций» (см. п. 14), то, следовательно, движение системы эквивалентно некоторому (в общем случае сложному) повороту в этом пространстве. Это преобразование от представления Шредингера к представлению Гейзенберга аналогично переходу от стационарной системы осей к такой системе, которая вращается вместе с векторами волновой функции так, что в этой последней системе волновая функция оказывается постоянной. Операторы, которые были постоянными в покоящейся системе, становятся функциями времени во вращающейся системе.

Используем ли мы представление Шредингера или Гейзенберга, это зависит только от того, какое из них удобнее для решения рассматриваемой задачи.

Вычислим теперь производную по времени ( определяется уравнением (16.2)):

Но по определению

где матричные элементы выражены в гейзенберговском представлении. Если заметить, что матрица оператора Гамильтона равна Нее то легко показать, что уравнение (16.50а) эквивалентно

Задача 15. Доказать, что вышеприведенный результат инвариантен по отношению к любому унитарному преобразованию, которое не является функцией времени.

До сих нор мы пользовались гейзенберговским представлением только при условии, что гамильтониан диагонален. Однако можно обобщить гейзенберговское представление, разложив волновую функцию в ряд по какой-либо полной системе функций являющихся решениями уравнения Шредингера. Наиболее общее решение уравнения Шредингера можно разложить в ряды по собственным функциям оператора . Таким образом,

где постоянные коэффициенты разложения. Если функции (как и ) образуют полную ортонормированную систему, то, как показано в унитарная матрица, а преобразование от унитарное преобразование.

Действительно, чтобы получить это преобразование в явной форме, умножим выражение (16.51) почленно на и просуммируем по Используя унитарный характер матрицы получаем

Из задачи 15 тогда следует вывод, что уравнение (16.506) дает выражение для производной по времени матричного элемента даже в наиболее общем гейзенберговском представлении. (Заметьте аналогию этого уравнения с уравнением (9.37).) Однако надо отметить,

что уравнение (16.506) применимо только в гейзенберговском представлении.

В качестве частного случая из уравнения (16.506) можно показать, что основные перестановочные соотношения между операторами являются постоянными движения. Действительно,

Если принять, что в начальный момент то

поскольку коммутирует с любым оператором. Таким образом, доказано, что если вышеприведенное перестановочное соотношение существует при то коммутатор остается все время постоянным. Это является важным подтверждением правильности нашего выбора перестановочных соотношений, потому что в общем случае выбор перестановочных соотношений не обязательно получается с помощью уравнений движения.

Задача 16. Доказать, что из уравнения (16.506) следует уравнение (9.37).

Задача 17. Показать, что из можно получить

Из задачи 17 видно, что уравнение (16.506) содержит в себе квантовые уравнения, заменяющие классические уравнения движения.