14. Квантование осцилляторов вещества.

Для того чтобы определить, применима ли квантовая гипотеза Планка к осцилляторам вещества, можно исследовать вопрос об удельной теплоемкости твердых тел. Например, в кристалле каждый атом в равновесном состоянии расположен в соответствующих узлах решетки; при возбуждении атомы могут колебаться вблизи положения равновесия, причем в случае малых колебаний это будет приближенно простое гармоническое движение.

В первом приближении можно считать, что осцилляторы независимы друг от друга. Частота колебания может быть вычислена через массу атома и упругие постоянные кристалла [11, 72]. Согласно классической теореме о равномерном распределении энергии по

степеням свободы, каждый осциллятор обладает энергией и потому его доля в удельной теплоемкости равна величине х на атом. Экспериментально же было найдено, что удельная теплоемкость стремится к нулю при абсолютном нуле и асимптотически возрастает к величине х на атом при высоких температурах, как показано на рис. 2. Отсюда следует, что классическая теория действительно неверна при низких температурах.

Рис. 2.

Эйнштейн предположил, что экспериментально наблюдаемая кривая может быть объяснена, если предположить, что молекулярные осцилляторы квантуются с энергией . В противоположность осцилляторам излучения, которые могут обладать любыми частотами, осцилляторы вещества обладают только одной частотой, которая является характеристической частотой вещества. Используя результат Планка, т. е. уравнение (1.32), для случая заданной частоты, находим

Эта формула явно предсказывает, что удельная теплоемкость стремится к величине х при высоких температурах и к нулю при очень низких температурах в соответствии с сомножителем

Формула в общем случае хорошо совпадает с экспериментом, за исключением очень низких температур

Причину расхождения при очень низких температурах объяснил Дебай (см. [11], стр. 450; [72], гл. VIII). В действительности колебания каждого атома нельзя считать независимыми от колебаний других атомов, ибо атомы связаны между собой межмолекулярными силами. Поэтому расчет с использованием независимых колебаний не является вполне строгим.

Для описания связанных колебаний молекул можно рассмотреть, например, одномерную цепочку частиц. Предположим, что каждая частица взаимодействует только со своими двумя ближайшими соседями. Тогда можно показать ([16], стр. 121 и 125 или стр. 136 и 140 перевода), что волны распространяются по такой системе аналогично их распространению вдоль цепочки с тем исключением, что здесь существуют как продольные, так и поперечные волны, в то время как волны в цепочке только поперечные. Если длина волны велика по сравнению с расстоянием между частицами, то распространение

очень мало отличается от распространения в сплошной струне; но если длина волны становится соизмеримой со средним расстоянием между частицами, то закон распространения колебаний изменяется. Для длин волн меньших, чем среднее расстояние между частицами, распространение становится невозможным.

Задача 4. Пусть в одномерной цепочке из частиц, определенной выше, равновесное расстояние между частицами равно а. Предположим, что сила, действующая на частицу, равна

где отклонение частицы от положения равновесия.

Найти решения в виде и показать, что можно выбрать в виде где — соответствующая постоянная, связь которой с получается из решения уравнений.

Показать, что колебания низких частот подобны звуковым волнам и что где скорость звука в системе. Показать также, что существует максимальная частота.

Для трехмерного случая могут быть проведены аналогичные рассуждения, и таким же путем можно описать распространение звуковых волн в кристалле. Как и для электрсмагнитного поля, можно рассматривать амплитуды возможных звуковых волн в качестве координат, описывающих состояние системы. Так как со временем эти координаты гармонически колеблются, то энергии связанных с ними осцилляторов должны квантоваться (см. пп. 10 и 13). Однако при вычислении энергии мы должны учесть, что допустимо только конечное число длин волн, а также, что связь между частотой и длиной волны становится более сложной, если приближаться к длинам волн, сравнимым с межатомными расстояниями. Если все это принять во внимание, то квантовая гипотеза приводит к очень хорошему совпадению с экспериментальным ходом удельной теплоемкости при всех температурах. Таким образом, мы получим доказательство существования не только кванта электромагнитной энергии, но также и кванта звуковой энергии.