8. Сложение моментов количества движения.
Исследуем теперь вопрос о сложении моментов количества движения в квантовой теории. Например, может понадобиться знание суммарного момента системы, состоящей из двух частиц, или узнать, как складываются спиновый и орбитальный моменты.
При решении этой задачи заметим сначала, что орбитальный момент коммутирует со спиновым. Это может быть тогда, когда эти два типа операторов не действуют друг на друга. Суммарный момент, даваемый спином и орбитальным движением, равен
Квадрат полного момента равен при этом
Если в системе имеется больше чем одна частица, то операторы, принадлежащие различным частицам, также коммутируют. Суммарный орбитальный момент равен
Суммарный спин равен
Полный суммарный момент равен
Легко проверить, что поскольку и 
коммутируют, то все соответствующие компоненты 
подчинены тем же правилам коммутации, как и компоненты орбитального момента одной частицы.
Задача 6. Доказать это утверждение.
Из п. 3. очевидно, что собственные значения 
соответственно равны
где 
или полуцелые, или целые числа.
Нам часто придется сталкиваться с задачей одновременного определения собственных значений и собственных функций системы,
имеющей моменты количества движения двух различных типов. Например, пусть имеется система двух частиц с орбитальными моментами, соответственно равными 
и нужно определить собственные значения и собственные функции суммарного момента. Старая квантовая теория давала правило для такого определения, которое позже было строго обосновано. Это хорошо известное правило сложения векторов (см. [13], а также [11], стр. 341 и 356). В этом случае рассматриваются два вектора соответственно с длинами 
Предположим, например, что 
а также 
может иметь только целочисленные проекции на направление 
как показано на рис. 75. Пусть такая проекция равна 
При этом возможные значения суммарного момента I равны 
где 
меняется от 
до 
Если 
то следует спроектировать 
на 
, и тогда видно, что значение I заключено между 
Если проектируемый момент полуцелый, то применяются те же правила, с тем лишь исключением, что значения проекций теперь заключены между полуцелыми числами. Общее доказательство этого правила будет рассмотрено ниже, сначала проиллюстрируем его на некоторых частных случаях.
Рис. 75.
