9. Число осцилляторов.

Теперь нам надо найти число осцилляторов с частотами, лежащими в интервале от до Так как то задача эквивалентна определению числа осцилляторов в интервале от до

Для любого разумного значения число волн, находящихся в полости, обычно очень велико. Например, при средних температурах большая часть излучения находится в инфракрасной области с

длинами волн Поэтому, когда изменяется таким образом, что в полости укладывается на одну длину волны больше, то в результате происходит лишь ничтожное изменение величины Это позволяет выбрать интервал столь малым, чтобы ни одна существенная физическая величина (как, например, средняя энергия) не изменялась заметно внутри этого интервала, и вместе с тем выбрать этот интервал все же достаточно большим, чтобы он включал очень много осцилляторов излучения. Это означает, что число осцилляторов можно считать условно непрерывным и ввести для него функцию плотности.

Найдем теперь число осцилляторов, заключенных в объеме Если вообразить пространство координат то каждому набору целочисленных значений будет соответствовать один осциллятор. Следовательно, в единичном кубике пространства находится один осциллятор, и поэтому плотность осцилляторов в этом пространстве равна единице. Чтобы перейти к k-пространству, воспользуемся уравнением (1.18); это дает

Для дальнейшего удобнее ввести полярные координаты в k-пространстве. Если написать то элемент объема запишется в виде где элемент телесного угла. Так как мы не интересуемся направлением вектора к, то проинтегрируем по и получим для элемента объема тогда

Заменяя получаем

Это выражение дает число возможных значений к в интервале от до Как показано в где обсуждался смысл коэффициентов а и существует две независимые координаты для каждого к в соответствии с двумя направлениями поляризации. Следовательно, для полного числа осцилляторов, находящихся в интервале от до получаем