16. Эрмитовски сопряженные операторы.

Мы видели из предыдущего обсуждения, что в общем случае неэрмитовский оператор дает комплексное среднее значение до тех пор, пока он не будет эрмитизован, т. е. порядок, в котором входят сомножители должен быть изменен и взята полусумма их произведений. Тем не менее часто удобно иметь дело чисто математическим путем с неэрмитовскими операторами. Такой неэрмитовский оператор можно рассматривать как вид оператора, подобный комплексному числу. Для любого комплексного числа можно определить комплексно сопряженное число Можно ли определить сопряженный оператор подобным путем? Кажется естественным потребовать для оператора, сопряженного любому оператору О, чтобы его среднее значение являлось комплексно сопряженным среднему значению самого оператора О. Точнее, если обозначить оператор, сопряженный О, через то необходимо, чтобы

Из этого определения видно, что если О — эрмитовский оператор, то Другими словами, в соответствии с нашим определением эрмитовский оператор является самосопряженным оператором. Это напоминает вещественное число, являющееся комплексно сопряженным самому себе.

Заметим, что в общем случае не равно О, полученному простой заменой каждого I в операторе О на Например, рассмотрим эрмитовский оператор

следовательно, Но

поэтому Чтобы отличить от О, мы назовем первый как эрмитовски сопряженный оператору О. Его можно назвать также комплексно присоединенным к оператору О.

Возникает вопрос, почему мы определяем сопряженный оператор таким специфическим путем. Дело в том, что физический смысл имеет только среднее значение оператора. Следовательно, ближайший квантовый аналог комплексной функции — это оператор, имеющий комплексные средние значения. Однако появление комплексных чисел в самом операторе не играет особой роли. Например, в

координатном представлении оператор дается выражением но его среднее значение всегда вещественно. Итак, оператор, который выражается комплексно сопряженной функцией в классическом пределе, не обязательно комплексно сопряженный оператор, но в общем случае эрмитовски сопряженный.

Важным вопросом является, всегда ли возможно найти оператор, удовлетворяющий нашему определению эрмитовски сопряженного, если мы имеем дело с произвольным оператором О? Да, это всегда возможно. Опуская здесь доказательство, просто укажем, что оно существует.

Задача 11. Показать интегрированием по частям, что

Из произвольного оператора О всегда можно построить эрмитовский оператор, взяв среднее значение между оператором и эрмитовски сопряженным ему оператором. Тогда мы имеем

где — эрмитовский оператор, что ясно из равенства Это представляет собой близкую аналогию нахождению вещественной части комплексного числа С по формуле

Есть ли аналогия для мнимой части комплексного числа, равной Чтобы выяснить это, рассмотрим оператор А, определяемый как

и

Итак, оператор А обладает свойством или, другими словами, он равен эрмитовски сопряженному ему оператору с обратным знаком. Такой оператор называется антиэрмитовским.

Из любого антиэрмитовского оператора А всегда можно получить эрмитовский оператор умножением на Для доказательства этого отметим сначала, что само представляет собой антиэрмитовский оператор, это видно из его средней величины

(Заметим, что

Задача 12. Доказать, используя полученные выше результаты, что - эрмитовский оператор.

Обозначим эрмитовский оператор символом В. Тогда получаем

Итак, мы разложили произвольный оператор на два слагаемых, одно из которых имеет вещественное среднее значение, а другое — мнимое. Это совершенно аналогично числовому выражению Отметим, однако, что не обязательно коммутируют, и поэтому такое разложение не полностью эквивалентно тому, что происходит с числами. Например, для чисел имеем

а для операторов