5. Является ли приведенная формулировка наиболее общей?

Формулировка волновой механики, приводимая здесь, основана на трех предположениях: 1) соотношении де Бройля, подтверждаемом опытами Дэвиссона — Джермера, 2) принципе соответствия, из которого вытекает существование волновых пакетов, движущихся со скоростью классической частицы наконец, 3) требовании, что можно определить плотность вероятности подходящей функцией, которая тождественно сохраняется для произвольной волновой функции, являющейся решением волнового уравнения. Посмотрим теперь, возможно ли найти другие формулировки, которые привели бы к тем же результатам? Мы увидим, что по крайней мере в нерелятивистской области все удовлетворительные формулировки должны быть по существу эквивалентны приведенной выше формулировке и что в релятивистской области возникают некоторые трудности. Мы должны разобрать здесь три вопроса:

1) Должна ли волновая функция быть комплексной?

2) Каков наиболее общий вид волнового уравнения?

3) Каково наиболее общее определение вероятности? Как будет видно, эти три вопроса тесно связаны.

Если вспомнить, что световые волны можно описать при помощи вещественного вектора потенциала, то на первый взгляд кажется странным, что для электронов надо пользоваться комплексными волновыми функциями. Конечно, комплексными функциями часто пользуются как вспомогательным средством, когда имеют дело с вещественными величинами. Например, для векторного потенциала в плоской волне можно написать

Для точного описания системы необходимо, чтобы в уравнениях, которые решаются при помощи комплексных функций, никогда не связывались вещественная и мнимая части, т. е. эти две части должны быть независимы друг от друга. Правильность этого для векторного потенциала ясно видна из того, что функция А удовлетворяет уравнению

Если написать

то получим

Таким образом, слагаемые остаются независимыми друг от друга, и применение комплексной функции А здесь есть просто вспомогательный прием. В общем случае так будет всегда, если мнимая единица I не входит явно в волновое уравнение.

Запишем теперь волновую функцию электрона в виде Подстановка в уравнение Шрёдингера дает

Здесь отдельные слагаемые связаны между собой так, что ни одна из этих двух функций в отдельности не является решением уравнения Шрёдингера. Следовательно, в этом случае существенны обе функции к Однако использование комплексных чисел есть просто более краткое обозначение для представления двух вещественных функций, т. е. можно сказать, что для решения уравнения Шрёдингера требуются или две вещественные функции, или их эквивалент в виде одной комплексной функции. В общем случае это будет всегда, когда волновое уравнение явно содержит мнимое число I, как это имеет место в уравнении Шрёдингера в члене

То, что и V влияют на физические результаты, можно видеть из определения вероятности Поучительно

получить сохранение вероятности при помощи вещественных функций В этом случае можно написать

Используя уравнения (4.6), исключаем и получаем

Полагая , находим Это выражение означает сохранение вероятности. Мы видим, что связь между существенна для приведенного доказательства. Действительно, мы нашли, что ток 5 есть общее свойство и что он исчезает, если хотя бы одна какая-либо из этих величин тождественно равна нулю.

Путем исключений из уравнения (4.6) можно получить уравнения но отдельности для функций Они имеют вид

Итак, мы видим, что по отдельности удовлетворяют уравнениям второго порядка по времени. Заметим, однако, что еще связаны уравнением первого порядка (4.6).

Задача 2. Показать, что комплексная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка, но что наинизшим порядком линейных уравнений, которым удовлетворяют вещественная и мнимая части, является второй.

Так как по отдельности удовлетворяют волновым уравнениям второго порядка, то немедленно напрашивается мысль, что можно избежать комплексных функций, заменяя уравнение Шрёдингера эквивалентным уравнением второго порядка

Это приводит к дисперсионному уравнению для плоских волн в виде которое по существу совпадает с соотношениями де Бройля. Прежде всего покажем, что если это является правильным волновым уравнением, то все же невозможно выбирать комплексную функцию для Теперь это обусловлено тем, что вещественная и мнимая части не связаны друг с другом, т. е. могут иметь произвольные начальные значения. Однако при вычислении движения волнового пакета все известные классические виды движения уже описываются одним лишь правильным

начальным выбором функции Следовательно, добавочная свобода в выборе приводит к новым возможным видам движения волновых пакетов, что не согласуется с правильной формой их классического предела.

Для выяснения этого вопроса во всех деталях заметим, что наше уравнение второго порядка подразумевает в то время как в случае уравнения первого порядка нужно учитывать только один знак -К Появление знака или — указывает на большую свободу в выборе волновых функций, соответствующих уравнениям второго порядка. Построим теперь волновой пакет, как это уже делалось раньше. Так как мы можем брать любой знак то волна с волновым вектором колеблется, как

где а и произвольные постоянные. Тогда в наиболее общем случае волновая функция будет иметь вид

Но мы уже знаем, что правильный классический предел получается, если выбрать и . Легко показать, что в случае получаем неправильный результат для движения волновых пакетов. (Например, может получиться, что пакеты движутся одновременно в двух направлениях, хотя направление импульса определено.)

Рассмотрим теперь, возможно ли построить приемлемую теорию на основе уравнения второго порядка (4.7), пользуясь только одной вещественной волновой функцией Так как и могут принимать произвольные начальные значения в любой точке х, то это уравнение включает в себя то же число произвольных условий, что и уравнение Шрёдингера первого порядка с комплексной функцией поэтому здесь неприменимы возражения, изложенные в предыдущем пункте. Но мы покажем, что трудность этого метода заключается в невозможности с его помощью построить требуемую функцию

Докажем прежде всего, что нельзя построить никакой сохраняющейся функции, определяющей плотность вероятности, которая зависела бы только от и не зависела бы от Действительно, предположим сначала, что вероятность зависит только от т. е. тогда

Если это выражение должно равняться нулю для произвольного то необходимо, чтобы определялось через Но это предполагает существование волнового уравнения первого порядка. Однако в дифференциальном уравнении второго порядка можно придать произвольное начальное значение, следовательно, выражение (4.8) не может равняться нулю для всех

Теперь приведем пример, в котором получается сохранение определяющей плотность вероятности функции, зависящей как от так и от пространственных производных Эта функция имеет вид

Задача 3. Показать, что в этом случае

где

и затем доказать, что

Из решения этой задачи мы видим, что вероятность сохраняется и может принимать только положительные значения. Таким образом, на первый взгляд кажется, что это идеально подходящая функция. Трудность использования ее заключается в том, что вероятность в данном случае зависит от следовательно, от выбора нулевой энергии. Покажем это, вычислив для частного случая плоской волны:

Это дает

Если то это выражение упрощается

В нерелятивистской теории должна существовать возможность произвольного выбора нуля отсчета энергии, в результате которого получается эквивалентная теория. Мы видели, что это было возможно, например, при определении

Однако если определить выражением (4.9), то можно получить, скажем, выбирая соответствующую нулевую энергию. Следовательно, такое определение вероятности неприемлемо.

Пока просто дан частный пример того, что выбор волнового уравнения второго порядка и вещественной волновой функции не приводят к правильному определению вероятности. Можно показать, что этот вывод является общим.

Теперь покажем, что волновые уравнения выше второго порядка также недопустимы. Рассмотрим, например, уравнение четвертого порядка

Для плоской волны оно дает

Таким образом, получаем четыре корня

Мнимые корни соответствуют недопустимым решениям, ибо они имеют вид Такие волновые функции стремятся к бесконечности, когда Таким же путем можно показать, что нельзя пользоваться никаким волновым уравнением любого другого порядка для удовлетворения всех требований

Именно поэтому мы и потребуем, чтобы в нерелятивистской теории имело место уравнение первого порядка относительно времени с комплексной волновой функцией. Можно также показать, что является наиболее общей функцией для плотности вероятности, которая при этих условиях приводит к сохранению вероятности для произвольной функции и удовлетворяет также всем другим условиям

Задача 4. Рассмотрим для примера возможное определение

Показать, что, хотя это выражение удовлетворяет сохранению вероятности оно становится отрицательным для некоторых волновых функций и поэтому также неприемлемо. (Указание. Положить )

Наконец, следует указать на однозначность такого выбора волнового уравнения в том смысле, что оно дает правильный предельный переход к классическому случаю и что всегда допустимы небольшие изменения в уравнении, влияние которых не будет сказываться при этом. Конечно, все это является следствием использования принципа соответствия при выводе волнового уравнения. Такие изменения придется делать, например, если мы захотим учесть спин электрона. Поэтому формулировку, данную в этом пункте, следует рассматривать в основном как правильную, но требующую в дальнейшем некоторых поправок в соответствии с результатами более точных опытов.