29. Связь между методом стационарных состояний и временным описанием процессов рассеяния.

Вспомним, что, как указывалось в п. 17, применение стационарной падающей плоской волны не соответствует фактическим граничным условиям. Наоборот, в действительности существует волновой пакет, который падает на

рассеявающий потенциал при После того, как пакет сталкивается с потенциалом, появляется рассеянный пакет, который удаляется от рассеивающего центра, когда

Для образования пакета надо умножить функцию стационарного состояния на соответствующий множитель зависящий от времени, и проинтегрировать по малому интервалу импульсов с весовым коэффициентом Используя асимптотическую форму волновой функции, даваемую выражениями (21.41а) и (21.43), мы получаем для зависящей от времени волновой функции при больших радиусах

Первый член в правой части дает падающую волну. Центр этого пакета находится в экстремуме фазы или там, где -Пакет представляет движение электрона в направлении оси которое начинается с больших отрицательных значений при проходит через рассеивающий потенциал вблизи момента и переходит к положительным значениям при

Рассеянная волна дается вторым членом в правой части уравнения (21.56). Вводя фазу комплексной амплитуды этой волны по формуле мы получаем для центра пакета

Так как по определению существенны лишь положительные значения то ясно, что для больших отрицательных значений рассеянного пакета не существует, а для больших положительных значений появляется такой пакет, выходящий из начала координат. Член представляет собой отставание (или опережение) по времени, обусловленное действием потенциала (ср. с гл. 11, п. 19).

Если пакет велик по сравнению с областью рассеивающего потенциала, то точные размеры пакета не будут оказывать сколько-нибудь решающего влияния на величину поперечного сечения. Это обусловлено тем, что интервал волновых чисел в пакете будет тогда мал по сравнению с соответствующим интервалом в разложении потенциала. Поэтому неопределенность в импульсе, связанная с конечной шириной пакета, приводит к отклонениям, которые исчезающе малы по сравнению с отклонениями, обусловленными самим рассеивающим потенциалом. Этим самым оправдывается использование бесконечно протяженной плоской волны для вычисления поперечного сечения.

Выясним теперь вопрос, почему поперечные сечения, которые рассчитаны с помощью теории возмущений, зависящей от времени

(см. п. 20), в импульсном представлении будут те же самые, как и рассчитанные с помощью волновых пакетов, построенных из собственных функций гамильтониана. Напомним, что в теории возмущений, зависящей от времени, делалось предположение, что при потенциал включается внезапно, а также, что волновая функция имеет вид плоской волны Такие граничные условия, конечно, не очень точно отражают действительное положение вещей. Однако при выводе уравнения (21.31) было сделано предположение о столь длительном возмущении, что функция , появляющаяся в уравнении (21.30а), по существу становится эквивалентной -функции. Таким образом процесс рассеяния длится столь продолжительное время, что влиянием «краевых» эффектов, обусловленных внезапным включением потенциала при можно пренебречь. Поэтому, хотя принятые граничные условия и не точны, но они практически приводят к правильным результатам. Интересно, что замена волнового пакета бесконечно протяженной плоской волной в методе стационарного состояния оправдывается теми же соображениями, а именно такой шириной волнового пакета, что эффектами «краев» тоже можно пренебречь.