13. Связанные состояния потенциальной ямы.

Рассмотрим теперь задачу потенциальной ямы в приближении ВКБ. Такая яма может быть представлена кривой, показанной рис. 54.

Рис. 54.

При согласно классической теории, частица будет колебаться на отрезке оси х между точками где кинетическая энергия равна нулю. Период колебаний зависит от формы потенциала и от положения пределов колебаний, последние же зависят от величины энергии. Такие колебания будут негармоническими. Система представляет гармонический осциллятор, если только существует параболическая зависимость потенциала от Мы видели в (2.12), что период колебаний дается формулой

где

Решение для волновой функции. Определим теперь волновые функции для этого потенциала, используя приближение ВКБ.

Мы знаем, что, согласно квантовой теории, волновая функция экспоненциально проникает в область, где Начнем

рассмотрение с области где Нужно выбрать решение, убывающее экспоненциально влево:

где

Формула связи для случая, когда барьер слева (уравнение (12.41)), дает такое выражение для волновой функции внутри ямы:

Для определения того, что происходит с волновой функцией в области III, нужно переписать ее в форме, пригодной для использования формул связи в случае барьера, расположенного справа. В результате получим

В области III решение должно экспоненциально убывать. Применим уравнение (12.396) для случая, когда барьер расположен справа. При этом формулы связи будут по-прежнему справедливыми, если только их умножить на —1. Поэтому экспоненциальное убывание получится, если только фаза тригонометрической функции в такова, что последняя имеет вид Легко видеть, что это условие выполняется в том и только в том случае, если удовлетворяется равенство

где любое целое число. Используя формулу

мы получим в этом случае

где опять любое целое число. Формула (12.55) совпадает с квантовым условием Бора — Зоммерфельда (см. гл. с точностью до слагаемого Таким образом, волновая теория в классическом предельном случае приводит к старым квантовым условиям. О поправке в виде слагаемого Уже догадывались и до появления волновой теории, так как она была необходима для того, чтобы получить согласие между теорией и опытом при определении энергетических уровней.

Вид волновой функции. Формулы связи указывают на то, что волновая функция должна в точках поворота иметь соответственно фазы где некоторое целое число. В действительности приближение ВКБ не справедлив в этой области, но приближенно фазы волновой функции, рассчитанной по методу ВКБ, будут близки к своим истинным значениям. Тогда волновая функция с имеет фазу в точке в точке Поэтому для наинизшего состояния только четверть длины волны попадает внутрь области с положительной кинетической энергией (волновая функция имеет вид кривой, изображенной на рис. 55). Это есть следствие существования полуцелого квантового числа. Наинизшее состояние не имеет узлов.

Рис. 55.

Первое возбужденное состояние осциллятора имеет один узел, следующее — два и т. д. Поэтому и в приближении ВКБ, так же как и в случае прямоугольной ямы, возможна классификация связанных состояний по числу узлов (см. гл. 11, п. 12.) Действительно, эта классификация пригодна для любого вида потенциальной функции, т. е. номер квантового состояния равен числу узлов волновой функции.

Можно показать, что если формулы связи неприменимы, то квантовые условия могут быть несколько изменены. Например, для очень глубокой потенциальной ямы волновая функция исчезает в точках поворота, и мы должны уместить целое число полуволн внутри ямы. В этом случае вместо (12.55) получим соотношение Появление множителя в приближении ВКБ вызвано тем, что волна может проникать экспоненциально в классически недоступную область. Иными словами, она распространяется на несколько большую область, чем для бесконечно высокого барьера. В результате

необходима только четверть длины волны для заполнения классически доступной области, вместо половины длины волны, которая необходима для этого в яме с бесконечно высокими барьерами. С другой стороны, в очень мелких ямах точки поворота могут находиться в области, где кривизна потенциала может заметно сказываться на расстояниях порядка длины волны, так что здесь формулы связи делаются неприменимыми и фаза волны в точке поворота изменяется (см. п. 8). Квантовые условия для такого случая становятся более сложными, и здесь мы не будем их рассматривать.

Задача 7. Применить вышеприведенные рассуждения для вычисления энергетических уровней гармонического осциллятора и получить результат Обратить внимание на тот факт, что наинизший энергетический уровень равен а не как это давала старая теория Бора — Зоммерфельда (см. гл. 2, п. 12). Объяснить этот факт с помощью соотношения неопределенностей.

Рис. 56.

Изобразить схематически волновые функции в приближении ВКБ для первых четырех квантовых состояний.