Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
ГЛАВА 15. РЕШЕНИЕ РАДИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ; АТОМ ВОДОРОДА; ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В этой главе будет продолжено решение волнового уравнения в трех измерениях, результаты этого решения будут применены к многочисленным задачам.
1. Радиальное уравнение.
Поскольку произвольную функцию от можно разложить в ряд по поверхностным гармоникам, то произвольную функцию от также можно разложить по ним, если коэффициенты у поверхностных гармоник будут функциями от Таким образом,
Это разложение по можно провести при любой фиксированной величине Тогда получившиеся коэффициенты разложения будут зависеть от Для выявления этой зависимости рассмотрим функции как коэффициенты.
В соответствии с уравнениями (14.17) и (14.35) уравнение Шредингера можно теперь записать в виде
Последнее уравнение справедливо для произвольных значений если
(Это можно доказать, умножая (15.2а) на и интегрируя по )
Задача 1. Доказать вышеприведенное уравнение.
Отметим, что уравнение для зависит только от I и не зависит от Здесь и далее мы будем писать
Уравнение (15.26) можно упростить, сделав подстановку тогда
2. Нормировка ...
Элемент объема в сферических полярных координатах равен Но уже нормированы по Поэтому нужно нормировать только по радиусу
Так как
3. Частный случай: l = 0 (s-волны).
В частном случае, когда вышеприведенное уравнение для совпадает с уравнением Шредингера для в одном измерении. Но здесь имеется важное качественное отличие. Поскольку везде должна быть конечной и поскольку ясно, что должно стремиться к нулю в начале координат по крайней мере так же, как и Это новое граничное условие отсутствовало в одномерной задаче, однако оно уже использовалось в задаче дейтрона (см. гл. 11, п. 14).
Состояния с моментом количества движения, равным нулю, называются «-состояниями. Эта терминология сохранилась с времен возникновения спектроскопии (см. [40], стр. 13). По этой терминологии состояния с различными моментами количества движения обозначаются следующим образом:
можно разложить в ряд по поверхностным гармоникам, то произвольную функцию от 
также можно разложить по ним, если коэффициенты у поверхностных гармоник будут функциями от 
Таким образом,
можно провести при любой фиксированной величине 
Тогда получившиеся коэффициенты разложения будут зависеть от 
Для выявления этой зависимости рассмотрим функции 
как коэффициенты.
если
и интегрируя по 
)
зависит только от I и не зависит от 
Здесь и далее мы будем писать 
тогда
Но 
уже нормированы по 
Поэтому 
нужно нормировать только по радиусу
вышеприведенное уравнение для 
совпадает с уравнением Шредингера для 
в одном измерении. Но здесь имеется важное качественное отличие. Поскольку 
везде должна быть конечной и поскольку 
ясно, что 
должно стремиться к нулю в начале координат по крайней мере так же, как и 
Это новое граничное условие отсутствовало в одномерной задаче, однако оно уже использовалось в задаче дейтрона (см. гл. 11, п. 14).
-состояниями. Эта терминология сохранилась с времен возникновения спектроскопии (см. [40], стр. 13). По этой терминологии состояния с различными моментами количества движения обозначаются следующим образом:
