12. Переменная действия.

Величиной широко пользовались в классической механике еще до появления квантовой теории, она называется переменной действия. Обычная формула для имеет вид

где — импульс, сопряженный координате Интеграл берется по траектории, фактически проходимой частицей за время одного периода колебания. Такой интеграл называется фазовым интегралом.

Легко показать для частного случая, когда где — потенциал, что это определение эквивалентно предыдущему. Для этого заметим, что колеблется между предельными значениями, являющимися функциями энергии. Так как частица проходит от одного максимального отклонения к другому и обратно, то фазовый интеграл точно равен удвоенной величине интеграла, взятого между пределами колебания

Найдем теперь По хорошо известной теореме математического анализа получаем

Вспомним, что максимальные отклонения при колебании должны определяться тем, что кинетическая энергия в них равна нулю, т. е. Следовательно, выражения в фигурных скобках исчезают, и так как то находим

где период. Это показывает, что функция определенная уравнением (2.11), совпадает с функцией У из вышеприведенного уравнения (2.10) с точностью до постоянной интегрирования, которая для наших целей несущественна.

Квантование действия обычно называют «квантовым условием Бора — Зоммерфельда».