9. Общий вывод соотношений неопределенностей.

Мы уже выяснили, что величины нельзя измерить одновременно и что

минимальные неопределенности этих величин отвечают соотношению Покажем теперь, что минимальные неопределенности для двух эрмитовских операторов удовлетворяют правилу

(Так как эрмитовский оператор, то величина в правой части всегда положительна.) Ясно, что, положив

мы получим обычное соотношение неопределенностей, так как

Неопределенность равна Для простоты положим Итак, нам нужно вычислить величину

Поскольку эрмитовский оператор, то можно записать

То же можно сделать и Окончательно имеем

Здесь удобно представить интегралы как пределы сумм, тогда будем иметь

Используем теперь теорему, называемую неравенством Шварца. Она выражается следующим неравенством:

Чтобы доказать это, запишем

а затем рассмотрим следующую величину:

Заметим, что если то соответствующие члены в сумме исчезают. Но если фиксированные величины, не равные друг другу, то соответствующие члены равны

Однако эта величина всегда положительна или равна нулю. Следовательно, состоит из членов, которые не могут быть отрицательными, и поэтому Это доказывает неравенство Шварца. Ясно, что только если каждый член ряда равен нулю или если Это означает, что или где С — константа.

Применение неравенства Шварца к уравнению (10.17) дает теперь

Поскольку - эрмитовский оператор, получаем

Оператор является эрмитовским, следовательно, его среднее значение всегда вещественно и может быть обозначено числом Мы знаем также, что тоже является эрмитовским оператором, следовательно, и его среднее значение равно некоторому вещественному числу

Итак, мы имеем

Заметим теперь, что

это как раз и является корреляционной функцией для переменных Самое большое, чего мы можем достичь, это сделать корреляционную функцию равной нулю. Однако независимо от того, равно ли нулю или нет, справедливо следующее соотношение:

Это очень важный результат. Он означает, что когда не коммутируют, их нельзя измерить одновременно с абсолютной точностью,

Можно доказать, что если коммутируют, то их можно измерить одновременно, но доказательство мы здесь опускаем.

Когда минимально выражение Для того чтобы в неравенстве (10.24) был знак равенства, должны выполняться два условия:

1) (это означает, что в неравенство Шварца входит знак равенства).

2) (это означает, что а и не коррелируют). Рассмотрим частный случай

Ограничимся случаем обобщить результат на произвольные значения этих величин весьма просто. Мы получаем

Интегрирование дает Ранее для волновых функций типа было показано, что исчезает только, если Следовательно, чтобы удовлетворить условию (2), надо сделать С мнимой величиной. Но мы должны также обеспечить существование выражения т. е. полная вероятность должна быть нормирована к единице. Это можно удовлетворить только, когда где а — положительное число. Тогда мы получим т. е. хорошо известное распределение Гаусса. В более общем случае, когда не равны нулю, мы получим

Этот результат является наиболее общей функцией, для которой справедлив знак равенства в соотношении неопределенностей.

Задача 7. Доказать полученный выше результат для волновой функции наиболее общего вида.

Задача 8. Рассчитать для волновой функции (10.8), которая первоначально при имела вид функции Гаусса. Показать, что остается постоянным, но растет со временем. Следовательно, при даже если знак равенства справедлив при Однако плотность вероятности является гауссовской. Объяснить, почему знак равенства несправедлив, хотя Я — гауссовская функция. (Это — другой пример физического значения фазовых соотношений волновой функции.)