3. Влияние процесса наблюдения на волновую функцию.

Вернемся теперь к опыту, в котором положение электрона при прохождении через систему щелей определялось при помощи микроскопа. Перед актом наблюдения волновая функция, конечно, покрывала обе щели, так как в противном случае не было бы интерференции. Однако после наблюдения мы находим, что электрон находится либо около одной щели, либо около другой. В этом новом состоянии волновая функция должна иметь вид пакета с максимумом вблизи той щели, где был фактически обнаружен электрон.

Таким образом, при наблюдении положения электрона происходит редукция (сведение) волновой функцин от широкого фронта к узкой области пространства. Величина области, до которой происходит редукция, не может быть определена точно по виду первоначальной волновой функции. Можно определить лишь вероятность редукции в область заданной величины, пропорциональную величине в этой области.

Такой тип редукции волновой функции не имел места ни в одной классической волновой теории. Почему же он происходит здесь? Для ответа на этот вопрос необходимо принять во внимание, что в процессе наблюдения имеет место взаимодействие между частицей и измерительным прибором. Уравнение Шрёдингера (3.29), определяющее волновую функцию относится только к свободной частице.

Наличие любого взаимодействия (например, электрического, гравитационного, электромагнитного и т. д.) должно изменить уравнение Шрёдингера. Например, в микроскопе при наблюдении электрона используется электромагнитный квант, присутствие которого изменяет волновое уравнение для электрона. В гл. 22 будет детально исследован точный вид таких изменений, здесь же мы рассмотрим лишь некоторые результаты, полученные там.

Прежде всего рассмотрим уже приводившийся ранее пример электрона, проходящего через систему из двух щелей (см. рис. 19). Как и в оптике, распространение электронных волн может быть описано с помощью принципа Гюйгенса (см. [25], § 7). Это означает, что если известна величина волновой функции на данном фронте волны, то в любой точке можно определить ее величину как сумму отдельных волн от различных элементов этого фронта волны, причем каждое из слагаемых умножается на фазовый фактор где расстояние от рассматриваемой точки пространства до соответствующего элемента поверхности фронта волны.

В опыте с двумя щелями все составляющие в волновой функции для точек пространства справа от щелей возникают или от щели А, или от щели В. Если обозначить волновую функцию от щели А через а от щели В через где значение

координаты произвольной точки в плоскости щели, то, согласно принципу Гюйгенса, волновая функция в произвольной точке х в пространстве справа от щелей равна

где указывает на интегрирование по плоскости щели А или щели В, как сказано выше. Выражение (6.1) можно записать короче

где представляет ту часть волны, достигающую точки х, которая приходит от щели А, а от щели В.

Если открыта только одна щель А, то вероятность достижения частицей точки х должна быть равна а если была открыта только одна щель В, то эта вероятность должна быть равна Если же открыты обе щели, то вероятность будет

Таким образом, кроме членов от «отдельных щелей» и вероятность содержит интерференционные члены которых не должно быть, если бы в опыте мы имели дело только с вероятностью распределения классических частиц, проходящих либо только через щель А, либо только через щель В. Эти интерференционные члены отражают специфическое влияние волновых свойств материи.

Выясним теперь, что произойдет с волновой функцией электрона при наблюдении его положения. Как будет показано в гл. 22, процесс взаимодействия, неизбежный при наблюдении, всегда изменяет волновую функцию при этом невозможно ни предсказать, ни проконтролировать совершенно точно это изменение. Можно лишь приближенно предполагать, что подобное изменение обусловлено неконтролируемым квантом, который использовался в процессе

измерения (см. гл. 5, п. 8). Вообще говоря, этот квант может произвести множество разнообразных изменений в наблюдаемой системе, которые отразятся в соответствующих изменениях волновой функции. Однако всегда возможно так выбрать измерительный прибор, чтобы исследуемые свойства не изменялись в процессе измерения. Например, если микроскоп используется для определения координаты электрона, то она не изменяется при рассеянии кванта, участвующего в измерении, а изменяется лишь импульс. (Конечно, после окончания измерения координата изменится, но это изменение уже не имеет отношения к нашим рассуждениям.) В гл. 22 мы увидим, что при этих условиях каждая часть волновой функции, соответствующая определенному положению электрона в момент измерения, изменяется в процессе взаимодействия электрона с измерительным прибором таким образом, что она умножается на непредсказываемый и неконтролируемый фазовый фактор Например, в исследуемом случае волновая функция примет вид

где и - различные постоянные, которых нельзя ни предсказать, ни определить.

В гл. 22 будет детально показано, почему появляются эти изменения фазы. Здесь мы ограничимся лишь весьма грубыми качественными соображениями. При любом взаимодействии между электроном и измерительным прибором всегда имеется некоторое время являющееся продолжительностью взаимодействия. В течение этого времени описание электрона как изолированной системы становится неадэкватным действительности, и энергия определяется не только состоянием электрона, но также и квантом, участвующим в процессе взаимодействия.

Волновая функция осциллирует как величина . В течение времени взаимодействия энергия будет неопределенной на некоторую величину которая, согласно принципу неопределенностей, равна Поэтому неопределенность в фазе волновой функции будет по крайней мере равна произведению Таким образом, фаза волновой функции делается полностью неопределенной, и динамическая связь между фазой до взаимодействия и фазой после взаимодействия отсутствует. Кроме того, в гл. 22 мы также увидим, что нет определенного соотношения между поэтому разность фаз также нельзя ни предсказать, ни проконтролировать.

Если используемый измерительный прибор изменяет измеряемую величину, то изменение возникающее в процессе взаимодействия с прибором, будет более сложным, но мы не будем здесь рассматривать такой возможности, поскольку можно показать, что она не меняет существенным образом полученных выводов.

Для иллюстрации значения этих изменений волновой функции вычислим теперь плотность вероятности

Мы видим, что взаимодействие с измерительным прибором изменило интерференционные члены, но не повлияло на члены «изолированных щелей» . В тех точках, где волновые функции и не перекрываются и потому не интерферируют, фазовые факторы не играют никакой роли. Такие точки есть, например, непосредственно на самих щелях. Следовательно, взаимодействие с измерительным прибором не изменит вероятности нахождения частицы на самой системе щелей. Этот результат можно было более или менее ожидать, так как мы рассматриваем только те методы наблюдений положения, которые не изменяют его, так что распределение вероятностей положения около щелей остается неизменным в течение измерения. Однако статистическое распределение частиц где-нибудь в другом месте пространства может значительно измениться, потому что «интерференционные члены» в уравнении (6.36) умножаются на фазовые факторы Например, в точке, расположенной достаточно далеко вправо от щелей, где заметно перекрываются, фактор может настолько изменить характер интерференции, что вместо минимума может появиться максимум, т. е. вероятность попадания частиц в эту точку возрастает.

В каждом отдельном эксперименте определяются лишь как неизвестные и неконтролируемые постоянные. Но, как указывалось в п. 1, величина имеет смысл только постольку, поскольку она относится к совокупности одинаковых опытов, проводимых при эквивалентных начальных условиях. Таким образом, функция вероятности, которой здесь надо пользоваться, является средним значением произведения усредненным по результатам многих экспериментов. Так как фазы флуктуируют хаотически, неконтролируемым образом от одного опыта к другому, то члены типа при усреднении дают нуль, и единственными остающимися членами будут слагаемые от отдельных щелей, а именно и Следовательно, после того как электрон

провзаимодействовал с прибором (это дало нам возможность выяснить, через какую щель он прошел), волны, прошедшие через каждую из щелей, перестают интерферировать, несмотря на то, что они продолжают перекрываться.