14. Полиномы Лежандра.

Начнем исследование этих собственных функций для частного случая . В этом случае -составляющая момента количества движения равна нулю

Поскольку эти функции не содержат Так как полином степени 21 и так как каждое дифференцирование понижает степень полинома на единицу, то, очевидно, что полином степени Эти полиномы называются полиномами Лежандра (с точностью до постоянного множителя) и обозначаются так; таким образом, мы получаем

Перечислим некоторые свойства полиномов Лежандра: 1) Ортогональность. Поскольку полиномы Лежандра являются собственными функциями эрмитовских операторов принадлежащими различным собственным значениям то можно ожидать, что полиномы с различными I ортогональны (см. гл. 10, п. 24). Так

как полиномы не являются функциями радиуса, то интегрировать необходимо просто по телесному углу, тогда

Замечая, что

получим

при Этот вывод можно доказать и непосредственно из определения (уравнение (14.48б)).

Задача 4. Доказать непосредственно ортогональность различных полиномов Лежандра.

Указание. Учесть, что и интегрировать по частям I раз.

2) Дифференциальное уравнение для полиномов Лежандра. Мы показали, что полином Лежандра степени I удовлетворяет уравнению

где определяется уравнениями (14.2) и (14.16). Так как не является функцией от то член, содержащий исчезает. Мы получаем

Полагая находим

Это уравнение Лежандра. Полиномы Лежандра обычно получают, решая это уравнение (см., например, [39], стр. 273) и выбирая только те решения, которые являются регулярными в интервале

3) Нормировка полиномов Лежандра. Полиномы Лежандра можно нормировать методами, подобными тем, которые использовались для полиномов Эрмита-Чебышева. Здесь мы только приведем результаты. обычно определяется следующим образом ([39], стр. 275):

При этом определении нормировку можно получить из соотношений

4) Производящая функция для полиномов Лежандра. Как и в случае полиномов Эрмита — Чебышева, можно получить производящую функцию для полиномов Лежандра ([39], стр. 277). Однако здесь мы не будем этого делать, а просто приведем результат

5) Рекуррентные формулы. Из этой функции можно получить рекуррентные формулы. Например, продифференцируем ее по После небольших преобразований найдем следующее уравнение:

Приравнивание коэффициентов при приводит к формуле

Аналогично из соотношения

получаем

Тем же путем можно получить и другие формулы.

6) Первые несколько полиномов Лежандра. Из уравнения (14.52) находим

7) Постулат разложения. Все полиномы Лежандра являются собственными функциями операторов принадлежащими собственному значению Тогда, согласно постулату разложения (гл. 10, п. 22), произвольная функция от

может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра. Таким образом,

Чтобы получить при заданной функции умножим (14.56) на и проинтегрируем по С от —1 до +1, используя ортогональность и нормировку . В результате получаем

8) Узлы полиномов Лежандра. Поскольку есть полином степени I, он должен иметь I нулей. Можно показать, что все эти нули лежат между Поэтому волновая функция колеблется I раз между углами